Falsche Lösung: Wie groß ist die Möglichkeit, dass bei drei Tonnen und drei Bällen genau eine Tonne leer ist?

Ich würde gerne wissen, warum die 'Lösung', die ich mir ausgedacht habe, falsch ist. Ganz unten habe ich die richtige Antwort gegeben.

Jeder Ball hat eine Wahrscheinlichkeit$\frac{1}{3}$in einen der beiden Behälter zu gehen, und es gibt insgesamt$3^3=27$Möglichkeiten, die Bälle auf die Behälter zu verteilen.

Meine Lösung: Es gibt$3$Möglichkeiten, den Behälter für den ersten Ball auszuwählen,$2$Möglichkeiten, den Behälter für den zweiten Ball auszuwählen (weil er nicht in den für den ersten Ball ausgewählten Behälter gelangen darf), und$2$Möglichkeiten, den Behälter für die dritte Kugel auszuwählen (weil er in einen der zuvor ausgewählten Behälter gelangen muss). Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von$\frac{3\cdot 2\cdot 2}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.

Korrekte Antwort:$\frac{{{3}\choose{2}}(2^3-2)}{27}=\frac{2}{3}$, weil dort sind${3}\choose{2}$Möglichkeiten zur Auswahl der Behälter, in die die Bälle gelangen sollen,$2^3$Möglichkeiten, die zu setzen$3$Bälle in diese Behälter und rein$2$In diesen Fällen befinden sich alle Bälle im selben Behälter.

Wie ich in der Eröffnung geschrieben habe, verstehe ich nicht ganz, was am ersten Versuch falsch sein soll.