Eine Frage zu einem Sonderfall des Inklusions-Exklusions-Prinzips

$a_3$ist einfach die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für Schnittpunkte von drei beliebigen unterschiedlichen Ereignissen, die aus der Sequenz ausgewählt wurden, dividiert durch die Anzahl der$\tbinom n 3$Möglichkeiten, sie auszuwählen. Das ist das arithmetische Mittel.

$$a_3 =\dfrac{\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}\mathsf P(A_i\cap A_j\cap A_k)}{\dbinom{n}{3}}$$

Und so weiter für alle$a_i$Wo$i\in\{1,.., n\}$.

---

Was Sie haben, ist kein Sonderfall . Es gilt das Prinzip von Inklusion und Exklusion. Nur bekommt man normalerweise nicht das arithmetische Mittel als solches.

$$\begin{align}\mathsf P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) & =\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1}\binom{n}{i}a_i \\ & = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \sum_{1\leqslant k_1<\ldots< k_i\leqslant n} \mathsf P\left(\bigcap_{j\in\{k_1,\ldots,k_i\}}A_j\right) \end{align}$$

Was ein Sonderfall wäre, wenn die Wahrscheinlichkeiten für eine beliebige Auswahl beliebig wären$i$verschiedene Ereignisse in der Sequenz sollten alle gleich sein$a_i$. Das heißt, die Schnittpunkte von drei Ereignissen waren alle gleich groß, unabhängig davon, welche drei ausgewählt wurden; und so weiter.