Erwartete Anzahl der Fragen, wenn der Schüler 50 von 250 Fragen kennt und der Lehrer 25 auswählt

Question

Erwartete Anzahl der Fragen, wenn der Schüler 50 von 250 Fragen kennt und der Lehrer 25 auswählt

Apfel Banane

Ein Lehrer hat 250 Mustertestfragen und er wählt 25 davon aus, um den Test durchzuführen. Johnny übt nur 50 der 250 Fragen.

a) Was ist die erwartete Anzahl von Fragen, die in der Prüfung erscheinen, die Johnny geübt hat?

Meine Antwort: Ich bin ziemlich verwirrt, also glaube ich nicht, dass es die richtige Antwort ist. Ich weiß, dass der Erwartungswert gerecht ist

\sum_{k = 1}^{25} [k P (k)]

$\sum_{k=1}^{25} \left[kp(k)\right]$

Allerdings bin ich mir nicht sicher was $p(k)$ Ist. Ich denke es ist

\frac{25}{250} \frac{50}{250} = 0,02

$\frac{25}{250} \frac{50}{250} = 0.02$ was machen würde

E (X) = 6.5

$E(X) = 6.5$

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Johnny keine der Prüfungsfragen geübt hat?

Meine Antwort: Hier habe ich versucht, die hypergeometrische Verteilung zu verwenden und N = 250, r = 25, n = 50 und x = 0 festzulegen. Offensichtlich gehe ich hier davon aus, dass Johnny, wenn er eine geübte Frage sieht, sie lösen kann. Dies bedeutet, dass die endgültige Antwort sein wird

\frac{(\binom{50}{0}) (\binom{225}{50})}{(\binom{250}{50})}

$\frac {{50 \choose 0}{225 \choose 50}} {{250 \choose 50}}$ welches ist

\frac{(\binom{225}{50})}{(\binom{250}{50})}

$\frac {{225 \choose 50}} {{250 \choose 50}}$

Sind diese Antworten richtig? Jede Hilfe wäre willkommen! Danke schön.

JMoravitz

Die Antwort auf den zweiten Teil ist richtig. Die Antwort auf den ersten Teil? Nicht so viel. Ein Hinweis für den ersten Teil: Linearität der Erwartung.

E [X + Y] = E [X] + E [Y]

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Frage, die im Text auftaucht, tatsächlich eine war, die unser Schüler studiert hat? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Frage, die im Test auftaucht, tatsächlich eine war, die unser Schüler gelernt hat? Die Abhängigkeit dieser beiden Ereignisse ist völlig irrelevant. Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, warum.

JMoravitz

Dein Ansatz für #1 ist aber vernünftig

p (k)

$p(k)$ Sie sprechen davon, dass der Versuch, etwas zu finden, ziemlich kompliziert ist, komplizierter, als von einem Anfänger erwartet wird, dass er es alleine finden kann. Schlimmer noch ... vorausgesetzt, Sie könnten einen angemessenen Ausdruck für finden

p (k)

$p(k)$ , die Summe zu vereinfachen ist keine leichte Aufgabe. Der Ansatz mit Erwartungslinearität hingegen ist trivial, sollte intuitiv sein und hätte richtig erraten werden können.

Benutzer2661923

@JMoravitz Persönlich betrachtete ich zunächst die Tatsache, dass die Linearität der Erwartung keine unabhängigen Ereignisse erfordert, um kontraintuitiv zu sein. Erst als ich den Beweis im brillant.org-Link in meiner Antwort sah, war ich gezwungen, diese Schlussfolgerung zu akzeptieren. Man könnte vermuten, dass Meta-Cheating dieses Ergebnis vorgeschlagen haben könnte. Das heißt, wenn die Erwartungswertberechnung eine mühsame Berücksichtigung abhängiger Ereignisse erforderte, müsste man sich fragen, warum der Problemautor die Frage gestellt hat.

Benutzer2661923

@JMoravitz Ich vermute, dass der Problemkomponist wirklich beabsichtigt hat, dass der Schüler im Rahmen des Trainings bereits dem Ergebnis der Linearität der Erwartung ausgesetzt wurde.

Apfel Banane

Ok, ich glaube, ich verstehe es jetzt, nachdem ich mir den brillanten Artikel und die Antworten angesehen habe. Da die Linearität der Erwartung nicht erfordert, dass die Ereignisse selbst unabhängig sind,

(1 / 5) (25)

$(1/5)(25)$ ist gleichbedeutend mit der Addition aller einzelnen Erwartungswerte, oder?

Benutzer2661923

Ja, genau das ist es. Außerdem gibt es das versteckte Meta-Cheating- Problem. Problemkomponisten haben im Allgemeinen einen gewissen erzieherischen Wert und einen vernünftigen Angriffsplan im Sinn, wenn sie eine Frage stellen. Wenn Ihnen ein Problem zugewiesen wird, handelt es sich in der Regel lediglich um eine Anwendung der Schulung, die der Problemautor Ihnen angeblich kürzlich gegeben hat. Ich würde erwarten, dass dies für alle Mathematikkurse unterhalb des Graduiertenniveaus gilt.

Antworten (1)

Erwartete Anzahl der Fragen, wenn der Schüler 50 von 250 Fragen kennt und der Lehrer 25 auswählt

Die Antwort auf den zweiten Teil ist richtig. Die Antwort auf den ersten Teil? Nicht so viel. Ein Hinweis für den ersten Teil: Linearität der Erwartung. $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Frage, die im Text auftaucht, tatsächlich eine war, die unser Schüler studiert hat? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Frage, die im Test auftaucht, tatsächlich eine war, die unser Schüler gelernt hat? Die Abhängigkeit dieser beiden Ereignisse ist völlig irrelevant. Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, warum.
Dein Ansatz für #1 ist aber vernünftig $p(k)$ Sie sprechen davon, dass der Versuch, etwas zu finden, ziemlich kompliziert ist, komplizierter, als von einem Anfänger erwartet wird, dass er es alleine finden kann. Schlimmer noch ... vorausgesetzt, Sie könnten einen angemessenen Ausdruck für finden $p(k)$ , die Summe zu vereinfachen ist keine leichte Aufgabe. Der Ansatz mit Erwartungslinearität hingegen ist trivial, sollte intuitiv sein und hätte richtig erraten werden können.
@JMoravitz Persönlich betrachtete ich zunächst die Tatsache, dass die Linearität der Erwartung keine unabhängigen Ereignisse erfordert, um kontraintuitiv zu sein. Erst als ich den Beweis im brillant.org-Link in meiner Antwort sah, war ich gezwungen, diese Schlussfolgerung zu akzeptieren. Man könnte vermuten, dass Meta-Cheating dieses Ergebnis vorgeschlagen haben könnte. Das heißt, wenn die Erwartungswertberechnung eine mühsame Berücksichtigung abhängiger Ereignisse erforderte, müsste man sich fragen, warum der Problemautor die Frage gestellt hat.
@JMoravitz Ich vermute, dass der Problemkomponist wirklich beabsichtigt hat, dass der Schüler im Rahmen des Trainings bereits dem Ergebnis der Linearität der Erwartung ausgesetzt wurde.
Ok, ich glaube, ich verstehe es jetzt, nachdem ich mir den brillanten Artikel und die Antworten angesehen habe. Da die Linearität der Erwartung nicht erfordert, dass die Ereignisse selbst unabhängig sind, $(1/5)(25)$ ist gleichbedeutend mit der Addition aller einzelnen Erwartungswerte, oder?
Ja, genau das ist es. Außerdem gibt es das versteckte Meta-Cheating- Problem. Problemkomponisten haben im Allgemeinen einen gewissen erzieherischen Wert und einen vernünftigen Angriffsplan im Sinn, wenn sie eine Frage stellen. Wenn Ihnen ein Problem zugewiesen wird, handelt es sich in der Regel lediglich um eine Anwendung der Schulung, die der Problemautor Ihnen angeblich kürzlich gegeben hat. Ich würde erwarten, dass dies für alle Mathematikkurse unterhalb des Graduiertenniveaus gilt.

Benutzer2661923 · Answer 1

Was ist die erwartete Anzahl von Fragen, die in der Prüfung erscheinen, die Johnny geübt hat?

Johnny übt weiter $50$ aus $250$ Fragen. Dies impliziert, dass jede Frage zufällig a hat $(1/5)$ Wahrscheinlichkeit eine Frage zu sein, die Johnny geübt hat.

Die Linearität der Erwartung erfordert nicht , dass die Ereignisse unabhängig sind.

Folgendes berücksichtigen $2$ Veranstaltungen:

$E_1$ : Johnny übte an der 1. Frage, die vom Lehrer ausgewählt wurde.
$E_2$ : Johnny übte an der 2. Frage, die vom Lehrer ausgewählt wurde.

Bei der Berechnung der erwarteten Anzahl der Fragen, aus der $(25)$ Vom Lehrer ausgewählt, dass Johnny geübt haben wird, ist es (zum Beispiel) unerheblich, dass Ereignisse $E_1$ Und $E_2$ oben sind keine unabhängigen Veranstaltungen.

Also, die erwartete Anzahl von Fragen, aus der $(25)$ vom Lehrer ausgewählte Fragen, die Johnny geübt haben wird

(1 / 5) \times 25 = 5.

$(1/5) \times 25 = 5.$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Johnny keine der Prüfungsfragen geübt hat?

Die Wahrscheinlichkeit kann ausgedrückt werden als

\frac{N (Zähler)}{D (Erzähler)} .

$\frac{N\text{(umerator)}}{D\text{(enominator)}}.$

$N$ bezeichnet die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten $25$ Fragen aus der $200$ dass Johnny nicht weiter übte.

$D$ bezeichnet die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten $25$ Fragen von einem der $250$ Fragen.

Die Wahrscheinlichkeit ist also

\frac{(\binom{200}{25})}{(\binom{250}{25})} .

$\frac{\binom{200}{25}}{\binom{250}{25}}.$

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Siehe den Kommentar von JMoravitz nach meiner Antwort. Tatsächlich dachte ich, dass die Antwort des OP (dh des Originalposters) von

\frac{(\binom{225}{50})}{(\binom{250}{50})}

$\frac{\binom{225}{50}}{\binom{250}{50}}$

war automatisch falsch, weil es um andere Kombinationen als meine ging. Es ist mir nie in den Sinn gekommen, dass die $2$ Antworten sind gleichwertig.

Für das, was es wert ist, war mein Ansatz, mich auf das zu konzentrieren $25$ Fragen ausgewählt, mit der Begründung, dass sie Teil der sein mussten $200$ Fragen, an denen Johnny nicht geübt hat.

Das OP vertrat den gültigen (aber entgegengesetzten) Standpunkt. Er argumentierte, dass die $50$ Fragen, an denen Johnny geübt hatte, mussten im enthalten sein $225$ Fragen, die nicht ausgewählt wurden.

Hervorheben, $\dfrac{\binom{200}{25}}{\binom{250}{25}} = \dfrac{\binom{225}{50}}{\binom{250}{50}}$ . Auf den ersten Blick hätte man vielleicht gedacht, Sie sagten, die Antwort des OP auf Teil 2 sei falsch, obwohl dies nicht der Fall ist. Sowohl Ihre als auch die Antworten von OP sind korrekt und erscheinen nur in einer anderen Form.
@JMoravitz Du hast vollkommen Recht. Das habe ich gesagt. Ich werde meine Antwort entsprechend bearbeiten.
@JMoravitz Beide gleich $\frac{250!}{175!50!25!}$ wenn durch multipliziert.
@JMP Ich war derjenige, der das nicht bemerkt hat, bis JMoravitz darauf hingewiesen hat.

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