Wahrscheinlichkeit von mindestens 333 Personen, die in einer Gruppe von nnn Personen denselben Geburtstag haben

Soweit ich das beurteilen kann, funktionieren Ihre Methoden nicht und können nicht gerettet werden.

Dies ist ein schwieriges Problem, das mit herkömmlichen Mitteln nicht gelöst werden kann. Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass mindestens drei Personen einen gemeinsamen Geburtstag haben, berechnen wir stattdessen die Wahrscheinlichkeit, dass keine drei Personen einen gemeinsamen Geburtstag haben. Dies ist gleich

$$\frac{n^{365}}{365^n}.\tag 1$$ Hier,$[x^n]f(x)$ist der Koeffizient von$x^n$im Polynom$f(x)$. Sie wollen eins minus der oben genannten. Eine andere Möglichkeit, dies zu schreiben, ist $$\sum_{a_1,a_2,\dots,a_{365}}\frac1{365^n}\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_{365}!}.\tag 2$$ wobei die Summe über alle Vektoren geht$(a_1,a_2,\dots,a_{365})$von ganzen Zahlen zwischen$0$Und$2$dessen Summe ist$n$. Dies funktioniert, weil jeder Vektor eine gültige Verteilung von Geburtstagen angibt, bei der sich kein Geburtstag dreimal oder öfter wiederholt, und der Multinomialkoeffizient die Anzahl der geordneten Auswahlen von Geburtstagen angibt, die diese Verteilung haben, und jeder dann mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert wird$(1/365)^n$dieser geordneten Auswahl auftritt. Das kannst du beim Erweitern prüfen$(1)$und sammeln Sie den Koeffizienten von$x^{n}$, du bekommst genau$(2)$.

---

Wenn Sie mit einem ungefähren Ergebnis einverstanden sind, beträgt die erwartete Anzahl von Drillingen von Personen, die einen gemeinsamen Geburtstag haben$\lambda =\binom{n}{3}\cdot \frac1{365}^2$, und die Anzahl der Drillinge mit einem gemeinsamen Geburtstag ist ungefähr Poisson mit Parameter$\lambda$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass einige Drillinge einen gemeinsamen Geburtstag haben, ungefähr

$$1-e^{-\binom{n}3/365^2}.$$

Obwohl es keine einfache Formel für den exakten Ausdruck in Mike Earnests Gleichung (2) gibt, gibt es effiziente Möglichkeiten, ihn für jeden gegebenen Wert auszuwerten$\ n\ $pmultinom, von denen eines das Paket der statistischen Programmiersprache R implementiert hat . Hier ist ein R-Programm zum Vergleichen der genauen Wahrscheinlichkeiten von mindestens drei Personen, die einen gemeinsamen Geburtstag haben, mit der Poisson-Näherung für$n=90\ $Zu$\ 100\ $:

library(pmultinom)
us<-1:365
ps<-1:365
for (i in 1:365){
  us[i]<-2
  ps[i]<-365^(-1)
}
for(n in 90:100){
  a = 1-pmultinom(upper=us,size=n,probs=ps,method="exact")
  b=1-exp(-n*(n-1)*(n-2)/(6*365^2))
  v<-c(n,a,b)
  print(v)
}

Wenn Sie es hier online ausführen , erhalten Sie die folgenden Ergebnisse:

$$\begin{matrix} n &\mbox{exact} & \mbox{Poisson approx.}\\ 90 & 0.5341956 & 0.5859698\\ 91 & 0.5456984 & 0.5982312\\ 92 & 0.5571482 & 0.6103927\\ 93 & 0.5685366 & 0.6224440\\ 94 & 0.5798554 & 0.6343752\\ 95 & 0.5910964 & 0.6461763\\ 96 & 0.6022517 & 0.6578381\\ 97 & 0.6133135 & 0.6693514\\ 98 & 0.6242745 & 0.6807075\\ 99 & 0.6351272 & 0.6918979\\ 100 & 0.6458645 & 0.7029148 \end{matrix}$$ Für diesen Wertebereich gilt also die Poisson-Näherung$10\%$zu spät.