Wie viele Permutationen von Würfelwürfen ergeben eine feste Summe?

Die Anzahl der Möglichkeiten für$2$Würfel zu summieren$n$ist offensichtlich$0$für$n<2$Und$n> 12$. Überlegen Sie für die anderen, wie viele verschiedene Zahlen, die auf dem ersten Würfel erscheinen, es Ihnen ermöglichen, eine Summe von zu bilden$n$mit den Zahlen auf dem anderen Würfel. Für$7$, als Beispiel, egal was Sie auf dem ersten Würfel würfeln, es gibt eine Möglichkeit, mit dem anderen Würfel eine Sieben zu machen. Für$6$, du kannst jedoch kein a würfeln$6$beim ersten Würfel und dann insgesamt$6$auf beiden Würfeln.

Da es für eine gegebene Zahl auf dem ersten Würfel höchstens eine Möglichkeit gibt, mit dem anderen Würfel die gewünschte Summe zu bilden, ergibt diese Zählung das gewünschte Ergebnis. Es ist leicht zu sehen, dass wenn$n \le 7$die Nummer lautet$n-1$und wenn$n > 7$die Nummer lautet$13 - n$.

Das Plotten kommt sehr gut heraus:

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Gemäß Ihrem Kommentar können wir dies etwas auf eine allgemeinere Situation ausdehnen: Sie möchten die Anzahl der Möglichkeiten haben$n$Würfel mit Werten dazwischen$1$Und$k$Summe zu einem Wert$m$. Mathematiker sagen, dass dies a ist$n$-Zusammensetzung von$m$mit dem größten Teil höchstens$k$.

Dies ist ein nicht triviales Problem. Siehe diese Seite . Die Lösung stellt sich als Koeffizient von heraus$x^m$im Polynom

$$\left(\frac{x^{k+1}-x}{x-1}\right)^n.$$

Für kleine Werte von$m,n$es ist am besten, dies von Hand oder per Computer zu berechnen. Bei großen Werten gibt es Näherungsverfahren, wie auf dem oben genannten Link beschrieben.

Die Anzahl der Permutationen, die eine Summe von ergeben$k$beim Rollen$n$6-seitiger Würfel ist:

$$P\left( {n,k} \right) =\sum\limits_{i = 0}^{{i_{\max }}} {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 6i - 1}\\ {k - 6i - n} \end{array}} \right)}$$ Wo $\displaystyle {i_{\max }} = \left[ {\frac{{k - n}}{6}} \right]$Und $\left[ x \right]$repräsentiert die Funktion „ Floor “.

Zum Beispiel die Anzahl der Permutationen, die eine Summe ergeben$k=31$beim Rollen$n=10$Würfel ist:

$$P\left( {10,31} \right) = \sum\limits_{i = 0}^3 {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ i \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {31 - 6i - 1}\\ {31 - 6i - 10} \end{array}} \right)} =$$ $$\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ {21} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24}\\ {15} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {18}\\ 9 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 3 \end{array}} \right)} \right] =3393610$$ Ich habe versucht , das Innenleben dieser Formel " Schritt für Schritt " zu erklären , indem ich auf meiner Website unter diesem Link rein kombinatorische Argumente verwendet habe , und ehrlich gesagt hat sich dies als keine leichte Aufgabe erwiesen.

Die Anzahl der Summe von$n$Würfeln ist$m$kann als Koeffizient von gefunden werden$x^m$im Ausbau von$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n$.

$Example:$Wenn ZWEI Würfel geworfen werden:

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2 = x^{12}+2 x^{11}+3 x^{10}+4 x^9+5 x^8+6 x^7+5 x^6+4 x^5+3 x^4+2 x^3+x^2$$

Weil Koeffizient von$x^7$Ist$6$im obigen Ausdruck bedeutet es, dass es gibt$6$Kombinationen, die sich ergänzen$7$.

$Example:$Wenn DREI Würfel geworfen werden:

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3 = x^{18}+3 x^{17}+6 x^{16}+10 x^{15}+15 x^{14}+21 x^{13}+25 x^{12}+27 x^{11}+27 x^{10}+25 x^9+21 x^8+15 x^7+10 x^6+6 x^5+3 x^4+x^3$$

Als Koeffizient$x^{10}$Ist$27$im obigen Ausdruck bedeutet das, dass es gibt$27$Kombinationen, die sich ergänzen$10$.