Aufgabe über verheiratete Paare

Question

Aufgabe über verheiratete Paare

Mathematik
Permutationen
Kombinatorik

Pause

An einem runden Tisch sitzen vier Ehepaare. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die acht Personen zu platzieren, wenn alle Paare zusammensitzen sollen?

Meine Antwort ist $4! \cdot 2$ (4 Paare und 2 Varianten der Schicht, Sitzen auf ungeraden und geraden Plätzen).

Ist es richtig?

Wunder173

Was bedeutet 60"?

Vor allem Kalk

Das bedeutet, dass der Durchmesser des Tisches 60 Zoll beträgt.

Antworten (3)

Aufgabe über verheiratete Paare

Das bedeutet, dass der Durchmesser des Tisches 60 Zoll beträgt.

Saketh Malyala · Answer 1

Behandle jedes Paar als Block.

Sie können die Paare um den Tisch herum bestellen $\displaystyle \frac{4!}{4}=6$ Wege.

Sie können die Reihenfolge der Personen im Paar ändern $2$ Wege jeweils, z $2^4$ Wege.

Die Anzahl der Möglichkeiten, die Paare um den Tisch herum zu platzieren, ist dann: $6(2^4)=\boxed{96}$ Wege.

Nein, die richtige Antwort ist 2*4! wie sich herausstellte. Ich versuche zu verstehen - warum.
@paus Angesichts Ihrer ursprünglichen Frage sind unsere beiden Antworten richtig. Können Sie die genaue Frage aus dem Lehrbuch zitieren?
Ursprünglich ist es das gleiche, aber logischerweise müssen wir 4 Paare auf zwei Plätzen sitzen, dann haben wir drei Paare und so weiter bis zu einem Paar. Dann können wir sie entweder an ungeraden oder geraden Stellen platzieren. Ich habe die Illustration zum Hauptthema hinzugefügt.

jvdhooft · Answer 2

Die Anzahl der Möglichkeiten, vier Personen an einem runden Tisch Platz zu nehmen, entspricht:

\frac{4!}{4} = 6

$\frac{4!}{4} = 6$

Jetzt sind sie jedoch Paare, die auf zwei einzigartige Arten sitzen können. Die Anzahl der Arrangements beträgt somit:

\frac{4!}{4} \cdot 2^{4} = 96

$\frac{4!}{4} \cdot 2^4 = 96$

Wunder173 · Answer 3

Nennen wir das Paar aa,bb,cc,dd. Der Ehemann des Paares aa ist a, die Ehefrau von aa ist a. Die Mitglieder der anderen Paare heißen ähnlich. Die Plätze des Pults sind (im Uhrzeigersinn) nummeriert 1,2,3,...,8 (und neben 8 kommt wieder 1).

Du hast $8$ Möglichkeiten, Plätze für das erste Paar zu reservieren.
- zB platzieren wir paar aa im Uhrzeigersinn beginnend mit Platz 4:
- Das erste Paar wird auf den Sitzen 4,5 platziert
Du hast $3!$ Möglichkeiten, die Reihenfolge der auf das erste Paar folgenden Paare im Uhrzeigersinn festzulegen.
- nach aa kommt cc dann bb dann dd:
- also hat cc 6,7 zugewiesen
- bb hat 8,1 vergeben
- dd hat 2,3 vergeben
Dann haben je vier der 4 Paare 2 Möglichkeiten, den Mann und die Frau auf die dem Paar zugewiesenen Plätze zu platzieren. Das sind also $2^4$ Möglichkeiten.
- wir wählen:
- Aa
- Bb
- cC
- Dd

Alles in allem hast du

8 \cdot 3! \cdot 2^{4} = 768

$8\cdot 3! \cdot 2^4=768$ Möglichkeiten.

Unsere besondere Auswahl ist

1 2 3 4 5 6 7 8
b D d A a c C B

Wenn man nicht zwischen Anordnungen unterscheidet, die sich nur durch eine der 8 Drehungen unterscheiden, dann gibt es nur

\frac{768}{8} = 96

$\frac{768}{8}=96$

verschiedene Positionen.

Der Unterschied zwischen dieser Antwort und den anderen beiden besteht darin, dass sie davon ausgehen, dass zwei Anordnungen, die sich durch eine Rotation unterscheiden, gleich sind (das ist normalerweise bei diesen Problemen mit einem runden Tisch gemeint: Es gibt keinen Unterschied zwischen den einzelnen Orten, also zählt nur, wo Sie sitzen relativ zu allen anderen).
Wie oben erwähnt, teilen Sie einen runden Tisch durch die Anzahl der Sitzplätze $n$ . Auch, $8 \cdot 3! \cdot 2^4 = 768$ , und in der Tat, $\frac{768}{8} = 96$ .

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