Wir bekommen eine Klasse bestehend aus 4 Jungen und 4 Mädchen.

Wie Simon in seiner obigen Antwort sagte,$a$kann zwei Fälle haben:

$a.1:$2 Jungen 1 Mädchen, was nachgibt$\binom{4}{2}\binom{4}{1}$Wahlmöglichkeiten für Menschen u$3!$Vorkehrungen für ihre Positionen, die nachgeben$6\cdot4\cdot6=144$Möglichkeiten.

$a.2:$1 Junge 2 Mädchen, das ist das gleiche wie oben und ergibt$144$.

Daher$a=288$.

$b$hat auch zwei Fälle:

$b.1:$1 Junge 2 Mädchen, was wie oben ergibt$144$.

$b.2:$3 Mädchen, was nachgibt$\binom{4}{3}$die drei Mädchen zu wählen und$3!$Anordnungen, die gibt$4\cdot6$Möglichkeiten$24$.

Daher$b=168$.

Fall a ist entweder 2 Jungen 1 Mädchen oder 1 Junge 2 Mädchen, Fall b ist entweder 1 Junge 2 Mädchen oder 3 Mädchen. Die Zahlen sind klein genug, um die Möglichkeiten aufzuzählen.

Ich stimme der Antwort von Linus S und den Kommentaren von Simon und Joe Taxpayer zu. Dies ist ein alternativer Ansatz, der eine Generierungsfunktion verwendet, die die Lösungen praktisch liefert, selbst wenn die Zahlen nicht "klein genug" sind.

Wir zählen die Anzahl der injektiven Funktionen aus der Menge {Präsident, Vizepräsident, Sekretär} in die Menge {Junge1, Junge2, Junge3, Junge4, Mädchen1, Mädchen2, Mädchen3, Mädchen4}. Die bivariate exponentielle Erzeugungsfunktion:

(1 + x)^4 * (1 + y*x)^4 zählt die Anzahl der Mädchen, die für eine beliebige Anzahl von Positionen ausgewählt wurden. In diesem Fall (da es 3 Positionen gibt) suchen wir den Koeffizienten von x^3/3! das ist: 24 + 144 y + 144 y^2 + 24 y^3. Das sagt uns, dass von allen 336 möglichen Auswahlen 24 ohne Mädchen, 144 mit genau einem Mädchen, 144 mit genau 2 Mädchen und 24 mit genau 3 Mädchen sind.