Wie viele eindeutige Muster gibt es für ein 5x5-Gitter mit Pfaden von Leerzeichen, die sich bei 1 Leerzeichen schneiden und zu jeder Kante des Gitters führen?

Wenn ich die Dinge richtig verstehe, hat jede Kachel drei mögliche Austrittspunkte pro Kante, und es gibt ein 3x3-Raster möglicher interner Schnittpunkte. Das wäre also die naive Antwort$3^6=729$. Ich gehe jedoch davon aus, dass eine Kachel gleich ist, wenn Sie sie drehen.

Für Zählprobleme mit Symmetrie können wir das Lemma von Burnside verwenden . Ich gehe davon aus, dass die einzigen Symmetrien die Drehung um ein Vielfaches einer Vierteldrehung sind.

Nicht rotieren behebt (ändert sich nicht) alles$3^6$Fliesen. Durch eine halbe Drehung werden die Kacheln mit einem zentralen Schnittpunkt und gegenüberliegenden Ausgängen fixiert, sodass Sie wirklich nur Ausgänge an zwei benachbarten Kanten auswählen können, und die gibt es$3^2$Fliesen überhaupt. Drehung um eine Vierteldrehung (kann in$2$Wege) fixiert diese Kacheln mit einem zentralen Schnittpunkt, und die Ausgänge an drei Kanten sind Drehungen der ersten:$3$Kacheln (basierend auf der vorhandenen Auswahl für eine Kante) insgesamt.

Nach Burnsides Lemma sollte die Anzahl der rotationsverschiedenen Kacheln der Durchschnitt der Anzahl der festen Kacheln sein:

$$\frac{3^6+3^2+2*3}4=186$$

Wenn die Kacheln transparent sind und umgedreht werden können, gibt es weniger verschiedene Kacheln.