Buchstabenpermutationen in 'COOLEEMEE'

Es ist am besten, zuerst Vereinbarungen mit keinen zwei zu finden$E's$zusammen, Einfügen der$E's$in den Bindestrichen ($-$)

$-C-O-O-L-M-\;\;:\binom64\frac{5!}{2!} = 900$

Davon müssen wir Arrangements mit den beiden abziehen$O's$zusammen,

$-C-[OO]-L-M-$, nämlich$\binom54 4! = 120$,

eine endgültige Antwort geben$\;900-120=780$

Hinzugefügt, um die Abfrage von OP zu beantworten

Ich habe das Problem so verstanden, dass beides nicht der Fall ist$E's\;nor\;O's$sollten zusammen sein, da Sie Inklusion-Exklusion erwähnt haben. Wenn es sich um zwei getrennte Teilprobleme handelt, eines mit Nr$E's$zusammen, ein anderer mit nein$O's$gemeinsam kennen Sie den Ablauf bereits.

Hier suchen wir nach der Anzahl der Wörter, die überhaupt keine aufeinanderfolgenden gleichen Zeichen haben. Solche Wörter werden Smirnov- oder Carlitz-Wörter genannt. Siehe Beispiel III.24 Smirnov-Wörter in Analytic Combinatorics von Philippe Flajolet und Robert Sedgewick für weitere Informationen.

Eine Generierungsfunktion für die Anzahl der Smirnov-Wörter über an$n$-ary Alphabet wird durch gegeben

Wir betrachten hier ein Alphabet$\mathcal{V}=\{C,E,L,M,O\}$mit$n=5$Briefe. Verwenden$[z^k]$um den Koeffizienten von zu bezeichnen$z^k$einer Reihe berechnen wir

$$\begin{align*} &\color{blue}{[CE^4LMO^2]\left(1-\sum_{a\in\mathcal{V}}\frac{a}{1+a}\right)^{-1}}\tag{2}\\ &\qquad=[CE^4LMO^2]\sum_{j=0}^{\infty}\left(\sum_{a\in\mathcal{V}}\frac{a}{1+a}\right)^j\tag{3}\\ &\qquad=[CE^4LMO^2]\sum_{j=5}^{9}\left(\sum_{a\in\mathcal{V}}\frac{a}{1+a}\right)^j\tag{4}\\ &\qquad=[CE^4LMO^2]\sum_{j=5}^{9}\left(C+E\left(1-E+E^2-E^3\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+L+M+O(1-O)\right)^j\tag{5}\\ &\qquad=120-1\,440+6\,300-11\,760+7\,560\tag{6}\\ &\,\,\color{blue}{\qquad=780} \end{align*}$$ gemäß der Antwort von @trueblueanils.

Kommentar:

• In (2) verwenden wir die erzeugende Funktion (1). Da wir bestimmte Potenzen von Buchstaben identifizieren wollen, verwenden wir einen Begriff$\frac{a}{1+a}$für jeden Buchstaben in$\mathcal{V}$.

• In (3) erweitern wir die geometrische Reihe.

• In (4) beobachten wir, dass jeder Term$\frac{a}{1+a}=a\left(1-a+a^2-\cdots\right)$enthält mindestens einen Faktor$a$damit der Indexbereich der Reihe eingeschränkt werden kann$j=5,\ldots,9$.

• In (5) erweitern wir$\frac{a}{1+a}$für jeden der Buchstaben in$\mathcal{V}$. Wir überspringen alle Potenzen, die nicht dazu beitragen$C,E^4,L,M,O^2$.

• In (6) berechnen wir die Koeffizienten der Potenzen von$j=5,\ldots,9$mit etwas Hilfe von Wolfram Alpha.

Wenn wir keine aufeinanderfolgenden O's zulassen, dann könnten wir, denke ich, zuerst die restlichen Buchstaben 'CLEEMEE' permutieren, also gibt es 7!/4! Wege. Dann gibt es 8 Leerzeichen und ich möchte 2 O's einfügen, also sollte das so sein$\frac{7!}{4!}\binom{8}{2}$in Summe?

Wenn Sie hier 8 Leerzeichen (7 Buchstaben + 1) berücksichtigen, bedeutet dies, dass Sie die beiden Os als eindeutigen Block hinzufügen, also sollten Sie erhalten$\frac{7!}{4!}\binom{8}{1}=\frac{7!}{4!}\cdot 8$, das sind genau die Fälle, die Sie aus der Gesamtsumme herausnehmen müssen.

Dies ist im Grunde der erste Schritt des Einschluss-Ausschluss-Prinzips: Sie betrachten alle möglichen Permutationen und schließen dann diejenigen aus, die aufeinanderfolgende Os haben.

Andernfalls, wenn Sie 9 Leerzeichen berücksichtigen, haben Sie$\frac{7!}{4!}\binom{9}{2}=\frac{9!}{4!2!}$, wodurch das anfängliche Problem im Grunde in zwei separate Schritte aufgeteilt wird.

Das Problem mit dem Buchstaben E ist stattdessen etwas komplizierter, ich kann nicht garantieren, dass dies die einfachste Lösung ist:

Ihr Ziel ist es, jedes Wort, das mindestens zwei aufeinanderfolgende Es hat, einmal aus der Gesamtzahl zu entfernen

Sie können beginnen, indem Sie die Permutationen des Blocks [EE] und die Buchstaben "COOLEEM" entfernen. Aber dann stellen Sie fest, dass Sie auch Folgendes entfernt haben:

1. zweimal (eins zu viel) die Sequenzen, die zwei Paare von E enthalten (..EE...[EE]...,...[EE]...EE...)

2. zweimal (eins zu viel) die Sequenzen, die mindestens drei aufeinanderfolgende E enthalten (...E[EE]...,...[EE]E...)

3. dreimal (zwei zu viel) die Sequenzen, die mindestens vier aufeinanderfolgende E enthalten (...EE[EE]...,...E[EE]E...,...[EE]EE...) .

Sie korrigieren den ersten Fehler, indem Sie einmal die Permutationen der Symbole "[EE][EE]COOLM" hinzufügen.

Sie versuchen, den zweiten Fehler zu korrigieren, indem Sie einmal die Permutationen des Blocks [EEE] und die Buchstaben "COOLEM" hinzufügen, aber dann bemerken Sie wieder, dass Sie die Wörter mit 4 E zweimal hinzufügen (...E[EEE]. ..,...[EEE]E) und damit Ihren zweiten und dritten Fehler korrigieren.

Dies ist auch irgendwie eine nicht-kanonische Anwendung des Einschluss-Ausschluss-Prinzips.