Zeichne auf beliebige Weise 7 Linien in die Ebene. Beweisen Sie, dass für jede solche Konfiguration 2 dieser 7 Linien einen Winkel von weniger als 26◦ bilden

Ich arbeite jetzt schon seit einiger Zeit an dieser Frage und denke, dass dies eine der vielen Anwendungen des Taubenschlagprinzips ist. Allerdings ziehe ich keine Schlussfolgerung. Also dachte ich mir, dass sich die Linien irgendwie schneiden müssen, um ein Heptagon zu bilden, und die Summe der Außenwinkel 360 Grad betragen muss, die auf die Linienpaare verteilt werden, die gebildet werden. Das ist mir auch aufgefallen 180 7 = 25.714 ungefähr, was mich veranlasst hat, dieses Verfahren durchzuführen, aber ich sehe keine Fortsetzung. Danke!

Bearbeiten: Es scheint, dass der Fall, dass 2 Zeilen parallel sind, die Aussage des Titels bricht, daher kann ich davon ausgehen, dass wir davon sprechen, 7 Zeilen willkürlich zu nehmen, wobei keine 2 Zeilen parallel zueinander sind.

Wenn alle 7 parallel sind, bildet keine von ihnen mit der anderen einen Winkel. Aber ich nehme an, Sie würden diesen Grenzfall als einen Winkel von betrachten 0 .
Wenn Sie die Linien so verschieben, dass sie sich an einem Punkt schneiden, können Sie leicht über die Winkel zwischen 2 Linien sprechen, und Ihre Beobachtung über PP sollte zum Ergebnis führen.
@CalvinLin Ja, aber ist das nicht zu spezifisch für eine Anordnung, die für einen allgemeinen Fall nicht gilt ... Ist das nicht eine große Annahme für das Problem?
@ParthShresth Nein, weil es den Winkel zwischen 2 Linien nicht ändert, wenn Sie die Linien parallel verschieben (außer im Fall von 2 parallelen Linien). So können Sie sich ganz einfach auf das Wesentliche konzentrieren.
@ParthShresth Hast du dir diese Frage zum Üben selbst ausgedacht? Wenn ja, lohnt es sich wahrscheinlich klarzustellen, dass keine zwei der Linien parallel sind oder dass Sie parallele Linien mit einem Winkel von null Grad betrachten (dh Sie interessieren sich nur für ihre relative Ausrichtung, nicht dafür, ob sie sich tatsächlich schneiden). Dieser Punkt scheint viel Aufhebens für sehr wenig pädagogischen Nutzen zu machen. Wenn das Problem woanders herkommt, würde es helfen, den genauen Wortlaut zu posten (damit klar ist, ob es sich um parallele Leitungen handelt) oder zumindest die Quelle zu nennen, damit andere es untersuchen können.
@DavidZ Nein, ich habe dieses Problem nicht verursacht. Ich habe dieses Problem in einem Problemsatz gefunden. Die Autorin dieses Aufgabensatzes erhebt nicht den Anspruch, die Aufgabe selbst erstellt zu haben, es handelt sich lediglich um eine Zusammenstellung vieler Aufgaben zum Üben für eine Aufnahmeprüfung. Außerdem ist der Titel der genaue Wortlaut der Frage.
@ParthShresth Ah okay ... nun, in diesem Fall wäre es meiner Meinung nach klarer, wenn Sie den genauen Wortlaut der Frage in einen Anführungsblock im Hauptteil des Beitrags einfügen würden, um deutlich zu machen, dass dies der genaue Wortlaut ist. und vielleicht sogar etwas hinzufügen, um ausdrücklich zu sagen, dass Sie keine weiteren Informationen haben. Es wird immer noch nicht klarstellen, wie parallele Linien zu behandeln sind, aber es wird den Leuten zumindest klar machen, dass Sie das nicht wissen.

Antworten (3)

Großer Hinweis, mit sieben Linien, die sich maximal im Winkel unterscheiden:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Da Sie nur an den relativen Winkeln interessiert sind, können Sie jede Linie beliebig verschieben, um durch denselben Punkt (den Ursprung) zu gehen.

Glaubst du, es gibt eine Möglichkeit, alle Winkel größer als zu machen? 26 ∘ ?

Nun, ich nehme an, wenn Sie sieben sich nicht schneidende parallele Linien konstruieren dürfen ... na dann sicher. Dies geschieht aber statistisch mit Maß 0 .

Ähm... Downvoter: Bitte erklären.
Möglicherweise, weil Sie, wenn Sie die Linien um sie herum verschieben, an ihren verschiedenen Schnittpunkten unterschiedliche Winkel zwischen ihnen erhalten?
@nick012000 9: Nein. Falsch und irrelevant. Siehst du warum?
Ich denke nicht, dass es immer falsch ist - die reine Übersetzung verschiebt nur die Schnittpunkte, und Sie haben die optimale Ausbreitung für ein "Spray" erstellt, aber das korrekte Konstrukt aus Dreiecken und Quadraten könnte größere Winkel haben. Siehe meine eigene Antwort für eine triviale Widerlegung der Vermutung des OP.
@ nick012000 In der nichteuklidischen Geometrie ist es falsch - aber na und? Hinweis: Euklid bewies bereits einen Satz über die Winkel zwischen zwei parallelen Geraden (dh einer Geraden plus einer reinen Translation ihrer selbst) und einer Quergerade.

Es war etwas schwierig, das Schubladenprinzip auf dieses Problem anzuwenden. Ich dachte zunächst daran, a zu teilen 180 ∘ Winkelmesser in sieben gleiche Abschnitte, die die Löcher waren, und die Winkel gegen den Uhrzeigersinn die sieben Linien, die mit dem gemacht wurden X -Achse waren die Tauben. Sicherlich, wenn zwei Linien in demselben Loch sind, dann ist ihr Winkel am größten 180 / 7 < 26 . Dies sind jedoch sieben Tauben in sieben Löchern, daher können wir nicht schlussfolgern, dass es zwei zusammenlebende Tauben gibt.

Hier ist, was ich gefunden habe, funktioniert. Wähle willkürlich eine der Linien aus und nenne sie L . Wenn sich eine der anderen sechs Linien schneidet L in einem Winkel von höchstens 180 / 7 Grad, dann sind wir fertig. Ansonsten ist das Maß der Winkel gegen den Uhrzeigersinn, den jede andere Linie mit macht L ist zwischen 180 ⋅ 1 7 Und 180 ⋅ 6 7 . Wir können das Intervall teilen [ 180 ⋅ 1 7 , 180 ⋅ 6 7 ] in fünf Längenintervalle 180 / 7 . Das sind unsere fünf Löcher, und die Winkel mit L der sechs anderen Linien sind die Tauben.

Das ist falsch.

Betrachten Sie den Fall von drei Linien parallel zueinander und senkrecht zu vier anderen Linien. Alle Winkel zwischen ihnen betragen 90 Grad. Da 90 größer als 26 ist, ist diese Vermutung falsch. QED.

Sie können dies auch tun, indem Sie aus Linien ein regelmäßiges Sechseck zeichnen und dann eine zusätzliche Linie zwischen zwei der gegenüberliegenden Ecken zeichnen, wodurch vier Winkel von 30 Grad und mehrere Winkel von 120 und 60 Grad entstehen.

Aber wenn die Linien parallel sind, bedeutet das nicht, dass der Winkel zwischen ihnen 0 Grad kleiner als 26 Grad ist?
@ParthShresth Nein, der Winkel zwischen zwei parallelen Linien ist undefiniert. Die Grenze des Winkels zwischen zwei Linien, wenn sie sich parallel nähern, ist Null, aber das ist nicht dasselbe, genauso wenig wie der Wert von 1/0 unendlich ist, weil der Wert der Grenze von 1/x gegen unendlich geht, wenn x gegen Null geht.
Ja, ich verstehe, was Sie andeuten wollen. Vielleicht sollten wir uns nur mit dem Fall befassen, wo die Linien willkürlich gezogen werden, aber keine zwei Linien parallel sind, weil das ein Durcheinander zu erzeugen scheint.
Die vom OP zitierte Frage ist nicht genau formuliert, aber es ist offensichtlich, dass "willkürlich" Sonderfälle wie "alle Linien sind parallel" ausschließt, was ansonsten ein einfacheres Gegenbeispiel als Ihr wäre (weil durch Ihre Interpretation der Frage gibt es überhaupt keine Winkel)
"Das ist falsch." Als Bonus wird auch Ihre Antwort beschrieben.
Zeichne auf beliebige Weise 7 Linien in die Ebene. Beweisen Sie, dass für jede solche Konfiguration 2 dieser 7 Linien einen Winkel von weniger als 26◦ bilden
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