Der folgende Beweis stammt aus Introduction to Mathematics (Devlin). Ich versuche nicht, Devlin oder Euklid zu widerlegen. Ich versuche zu verstehen, ob die Fragen, die mein Verstand stellt, ungerechtfertigt sind und warum.
Aussage: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(Beweis: Erster Teil) „Die Wahrheit dieser Aussage kann durch ein geniales Argument bewiesen werden, das Euklid bekannt ist.1 Die Idee ist zu zeigen, dass, wenn wir die Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge als auflisten dann muss die Liste ewig weitergehen. (Die ersten Mitglieder der Sequenz sind: , und so weiter.) Betrachten Sie die Liste bis zu einem gewissen Grad : Das Ziel ist zu zeigen, dass es eine weitere Primzahl gibt, die der Liste hinzugefügt werden kann. Sofern wir dies tun, ohne einen bestimmten Wert zuzuweisen, impliziert dies sofort, dass die Liste unendlich ist.
Lassen sei die Zahl, die wir erhalten, wenn wir alle bisher aufgelisteten Primzahlen miteinander multiplizieren und dann addieren , dh, Offensichtlich, ist größer als alle Primzahlen in unserer Liste, also wenn prim ist, wissen wir, dass es eine Primzahl größer als gibt , und somit lässt sich die Liste fortsetzen. (Das sagen wir nicht ist das die nächste Primzahl. In der Tat, wird viel größer sein als , also ist es unwahrscheinlich, dass es die nächste Primzahl ist.)"
Q1) Warum ist der Beweis legitim? Dieser Nachweis gilt nur weiter . Wie, ohne für JEDEN eine Antwort zu berechnen , kann man davon ausgehen, dass der Beweis weiterhin wahr ist?
Q2) Wie wäre es, wenn ?
Q3) Wie kann man sagen „daher kann die Liste fortgesetzt werden“?
Q1 ist der Schlüssel. Es geht nicht nur um die ersten fünf Primzahlen. Es bedeutet, dass Sie annehmen, dass jemand behauptet, er habe eine endliche Liste, die alle Primzahlen enthält. Sie wollen ihnen das Gegenteil beweisen, indem Sie zeigen, dass es mindestens eine Primzahl gibt, die nicht auf ihrer Liste steht. Du nimmst alle Primzahlen auf der Liste, multiplizierst sie und addierst eine. Das ist die Hier. Keine der Primzahlen auf der Liste kann teilen , weil sie alle einen Rest haben werden wenn du die Division machst. Daher auch nicht eine Primzahl ist (und nicht auf der Liste steht) oder (und Ihre Zusammenfassung hat diesen Teil übersehen) sie durch mindestens eine Primzahl teilbar ist, die nicht auf der Liste steht. In beiden Fällen ist eine Primzahl nicht auf der Liste. Wenn Ihr Gegner diese Primzahl zur Liste hinzufügt, wiederholen Sie die Berechnung und finden und eine weitere Primzahl, die nicht auf der Liste steht. Dies zeigt, dass eine endliche Liste nicht alle Primzahlen enthalten kann.
Q2. pInfinity ergibt keinen Sinn, daher können wir dies nicht berechnen . Die Multiplikation ist nur mit endlich vielen Faktoren definiert. Wir können Grenzwerte von endlichen Produkten berechnen, die immer mehr Terme haben, wenn der Grenzwert existiert, aber unendliche Produkte von Zahlen größer als divergieren.
Die Beschreibung von Devlin vermittelt die Idee eines Beweises (der Unendlichkeit der Primzahlen) auf eine Weise, die die Einschränkungen dessen widerspiegelt, was in Euklid zu finden ist.
Euklid schrieb nämlich, lange bevor ein Prinzip des „Induktionsbeweises“ artikuliert worden war. Aus heutiger Sicht wird also kritisiert, dass dieses Original nur ein Beispiel und keine strenge Behandlung "für alle" sei ".
Die Idee des Beweises ist jedoch in Euklid so klar, dass es eine sehr vernünftige Übung für Studenten darstellt, diesen Mangel an Strenge zu liefern.
Dies ist ein „indirekter Beweis“ oder „Widerspruchsbeweis“. Wenn es nur endlich viele Primzahlen gäbe, sagen wir , , ..., dann könnten wir sie alle miteinander multiplizieren und 1 addieren: . Das ist durch keine von teilbar , ,... da die Division durch each einen Rest von 1 hinterlässt. Daher ist es entweder eine Primzahl oder es ist durch eine Primzahl teilbar, die nicht in dieser Liste enthalten ist. So oder so gelangen wir zu einem Widerspruch zu der Hypothese, dass , , ... sind die einzigen Primzahlen. Eine wahre Aussage kann nicht dazu führen, dass sich eine Aussage widerspricht, also muss die ursprüngliche Aussage falsch sein.
dxiv
if N is prime, we know there is a prime bigger than pn, and hence the list can be continuedEs musselsespäter einen Teil dazu geben. Bitte zitieren Sie genügend Beweise dafür, dass die Frage sinnvoll ist.celtschk
p1 = 2(Angabe von "p1 = 2")$p_1 = 2$(Angabe von " p1 = 2")\inftygibtKarl Mummert