Beweis unendlich vieler Primzahlen

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Beweis unendlich vieler Primzahlen

Mathematik
Primzahlen
Beweis-Erklärung
Elementarzahlentheorie

Kurt Müller

Hier ist der Beweis aus dem Buch, das ich gerade lese, das beweist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt:

Wir wollen zeigen, dass es nicht nur endlich viele Primzahlen gibt. Angenommen, es gibt endlich viele Primzahlen. Wir werden zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Lassen $p_1, p_2,...,p_n$ alle Primzahlen sein, die es gibt. Lassen $x = p_1...p_n$ ihr Produkt sein und lassen $y=x+1$ . Dann $y \in \mathbb{N}$ Und $y \neq 1$ , also gibt es eine Primzahl $q$ so dass $q \mid y$ . Jetzt $q$ muss einer sein $p_1,...,p_n$ da dies alles Primzahlen sind, die es gibt. Somit $q \mid x$ . Seit $q \mid y$ Und $q \mid x$ , $q \mid (y-x)$ . Aber $y-x=1$ . Daher $q \mid 1$ . Aber seit $q$ ist prim, $q \geq 2$ . Somit $q$ teilt 1 nicht. Damit haben wir einen Widerspruch erreicht. Daher muss unsere Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, falsch sein. Also muss es unendlich viele Primzahlen geben.

Ich habe ein paar Fragen/Kommentare zu diesem Beweis. Ich werde ein einfaches Beispiel verwenden, um meine Fragen zu veranschaulichen:

Angenommen, es existieren nur 6 Primzahlen: $2, 3, 5, 7, 11, 13$

Lassen $x = p_1p_2p_3p_4p_5p_6=30,030$

Lassen $y = x + 1 = 30,030+1 = 30,031$

Fragen/Kommentare:

Der Beweis besagt, dass es eine Primzahl gibt $q$ so dass $q \mid y$ und das $q$ muss beides sein $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5,$ oder $p_6$ . Jedoch keine der 6 aufgelisteten Primzahlen, $(2,3,5,7,11,13)$ , teilt $30,031$ . Tatsächlich sind die einzigen Teiler für $30,031$ Sind $1, 59, 509$ Und $30,031$ . Bricht dann hier nicht der Beweis zusammen, da es keine Primzahl gibt $q$ das teilt $y$ ?
Die Primfaktorzerlegung von $30,031$ Ist $59 \times 509$ . Diese beiden Zahlen sind Faktoren von $30,031$ und sind tatsächlich selbst Primzahlen, da sie nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar sind. Habe ich gezeigt, dass es existiert? $\gt 6$ Primzahlen? Wenn ja, was kann ich jetzt schließen, nachdem ich dies gezeigt habe?
Ich verstehe nicht, warum der Widerspruch $q$ teilt $1$ Und $q$ teilt sich nicht $1$ führen uns zu der Annahme, dass die endlich vielen Primzahlen falsch sein müssen. Ich verstehe, wie wir zu dem Widerspruch gekommen sind. Ich verstehe nicht, warum uns der Widerspruch zu dem Schluss führt, dass die Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, falsch ist.

Ich entschuldige mich für den langen Beitrag. Danke für jede Hilfe.

Elf-Elf

Eine eindeutige Faktorisierung erfordert eine eindeutige Primzahlzerlegung. Wenn nein

p

$p$ existiert, muss es eine neue Primzahl geben ...

lulu

Der Punkt des Arguments ist, dass es eine Primzahl geben muss, die nicht in der Liste enthalten ist, die die von Ihnen erzeugte Zahl teilt. Ihr Beispiel bestätigt dies! Sie haben zwei solche Primzahlen gefunden

59, 509

$59,509$ Beides steht nicht auf der Liste. Daher kann Ihre Liste nicht vollständig gewesen sein.

Elf-Elf

Der Beweis geht davon aus, dass es endlich viele Primzahlen gibt, aber er zeigt dann weiter, dass dies unter den gegebenen Bedingungen eigentlich nicht der Fall sein kann. Daher liegt der Fehler in Ihrer Annahme, da alle Argumente im Beweis mathematisch gültig sind.

Kurt Müller

Danke für die schnellen Antworten an alle. Könnten Sie #3 etwas näher erläutern? Warum führt uns dieser Widerspruch darauf, dass die Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt, falsch sein muss?

Elf-Elf

Wie oben erwähnt, sind alle Ihre mathematischen Argumente korrekt, wenn Sie von Ihrer ursprünglichen Annahme ausgegangen sind. Doch Sie werden an einen Punkt des Beweises geführt, der unmöglich ist. Wenn die mathematischen Argumente stichhaltig und richtig sind, was kann dann noch falsch sein ...? Die ursprüngliche Annahme muss also falsch sein.

Flohblut

2) In diesem Fall, dass es mindestens 7 Primzahlen gibt. Aber wenn man das verallgemeinert, dass p1p2...pn+1 niemals durch p1,...,pn teilbar ist, dann kann p1,.....pn keine Liste aller Primzahlen sein. Eine solche Liste kann es nicht geben. Es kann also nicht endlich viele Primzahlen geben.

Flohblut

3) Wir haben angenommen, dass p1,.....pn alle Primzahlen sind. Wir wissen, dass p1....pn +1 einen Primfaktor q hat. Da p1,....,pn alle Primzahlen sind, die es gibt, ist q = pi eine dieser Primzahlen. Also pi|p1....pn und pi|p1....pn. also pi| 1. Was unmöglich ist. Eine der Annahmen muss also falsch sein. Die einzige Annahme, die wir nicht rechtfertigen können, ist, dass p1,...,.pn alle Primzahlen sind, die es gibt. Aber wenn es eine endliche Anzahl von Primzahlen gibt, können wir alle Primzahlen auflisten, und das wären alle Primzahlen, die es gibt. Das kann also nicht passieren. Es gibt also unendlich viele Primzahlen.

Graf Iblis

Eindeutiger Faktorisierungssatz ist falsch

Weber

Ich denke, der fehlende Teil ist, dass Sie nicht neu definieren, was es bedeutet, eine Primzahl zu sein, wenn Sie eine Liste möglicher Primzahlen annehmen. Sie ändern "x ist Primzahl" nicht in "x ist in dieser Liste". Sie beweisen also, dass die Liste nicht mit der definierten Bedeutung der Primzahl übereinstimmt, weil Sie neue Zahlen finden können, die in diese Form passen.

Benutzer253751

„Der Beweis besagt, dass es eine Primzahl q gibt, so dass q∣y … Allerdings teilt keine der 6 aufgeführten Primzahlen 30.031. Tatsächlich sind die einzigen Teiler für 30.031 1,59.509 und 30.031. Ist der Beweis dann nicht gebrochen hier unten, da es keine Primzahl q gibt, die y teilt?" - aber Sie haben gerade eine Primzahl q gefunden, die y teilt . 59 und 509 sind Primzahlen, die y teilen. Es wurde nicht gesagt, dass die Primzahlen in der Liste sein mussten.

Karl Witthöft

Wie kann das kein Dupe sein?

Antworten (9)

Beweis unendlich vieler Primzahlen

Eine eindeutige Faktorisierung erfordert eine eindeutige Primzahlzerlegung. Wenn nein $p$ existiert, muss es eine neue Primzahl geben ...
Der Punkt des Arguments ist, dass es eine Primzahl geben muss, die nicht in der Liste enthalten ist, die die von Ihnen erzeugte Zahl teilt. Ihr Beispiel bestätigt dies! Sie haben zwei solche Primzahlen gefunden $59,509$ Beides steht nicht auf der Liste. Daher kann Ihre Liste nicht vollständig gewesen sein.
Der Beweis geht davon aus, dass es endlich viele Primzahlen gibt, aber er zeigt dann weiter, dass dies unter den gegebenen Bedingungen eigentlich nicht der Fall sein kann. Daher liegt der Fehler in Ihrer Annahme, da alle Argumente im Beweis mathematisch gültig sind.
Danke für die schnellen Antworten an alle. Könnten Sie #3 etwas näher erläutern? Warum führt uns dieser Widerspruch darauf, dass die Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt, falsch sein muss?
Wie oben erwähnt, sind alle Ihre mathematischen Argumente korrekt, wenn Sie von Ihrer ursprünglichen Annahme ausgegangen sind. Doch Sie werden an einen Punkt des Beweises geführt, der unmöglich ist. Wenn die mathematischen Argumente stichhaltig und richtig sind, was kann dann noch falsch sein ...? Die ursprüngliche Annahme muss also falsch sein.
2) In diesem Fall, dass es mindestens 7 Primzahlen gibt. Aber wenn man das verallgemeinert, dass p1p2...pn+1 niemals durch p1,...,pn teilbar ist, dann kann p1,.....pn keine Liste aller Primzahlen sein. Eine solche Liste kann es nicht geben. Es kann also nicht endlich viele Primzahlen geben.
3) Wir haben angenommen, dass p1,.....pn alle Primzahlen sind. Wir wissen, dass p1....pn +1 einen Primfaktor q hat. Da p1,....,pn alle Primzahlen sind, die es gibt, ist q = pi eine dieser Primzahlen. Also pi|p1....pn und pi|p1....pn. also pi| 1. Was unmöglich ist. Eine der Annahmen muss also falsch sein. Die einzige Annahme, die wir nicht rechtfertigen können, ist, dass p1,...,.pn alle Primzahlen sind, die es gibt. Aber wenn es eine endliche Anzahl von Primzahlen gibt, können wir alle Primzahlen auflisten, und das wären alle Primzahlen, die es gibt. Das kann also nicht passieren. Es gibt also unendlich viele Primzahlen.
Ich denke, der fehlende Teil ist, dass Sie nicht neu definieren, was es bedeutet, eine Primzahl zu sein, wenn Sie eine Liste möglicher Primzahlen annehmen. Sie ändern "x ist Primzahl" nicht in "x ist in dieser Liste". Sie beweisen also, dass die Liste nicht mit der definierten Bedeutung der Primzahl übereinstimmt, weil Sie neue Zahlen finden können, die in diese Form passen.
„Der Beweis besagt, dass es eine Primzahl q gibt, so dass q∣y … Allerdings teilt keine der 6 aufgeführten Primzahlen 30.031. Tatsächlich sind die einzigen Teiler für 30.031 1,59.509 und 30.031. Ist der Beweis dann nicht gebrochen hier unten, da es keine Primzahl q gibt, die y teilt?" - aber Sie haben gerade eine Primzahl q gefunden, die y teilt . 59 und 509 sind Primzahlen, die y teilen. Es wurde nicht gesagt, dass die Primzahlen in der Liste sein mussten.

Rob Artan · Answer 1

Rob Artan

Dies ist ein hervorragendes Beispiel für einen Beweis, der traditionell als Widerspruchsbeweis formuliert wird, aber konstruktiv viel besser verstanden wird. Aus konstruktiver Sicht zeigt der Beweis dies bei einer gegebenen Liste von Primzahlen $p_1, \ldots, p_n$ es gibt eine Primzahl $q$ (jeder Primteiler von $p_1p_2\ldots p_n + 1$ ), die sich voneinander unterscheiden $p_i$ . Bei einer gegebenen endlichen Menge von Primzahlen können wir also eine Primzahl finden, die nicht in dieser Menge enthalten ist.

P Vanchinathan

+1 für die Betonung des konstruktiven Aspekts dieses Beweises.

Daniel R. Collins

Abgesehen davon, dass dieser Prozess nicht wirklich eine neue Primzahl erstellt (das Beispiel

y = 30031

$y = 30031$ zusammengesetzt sein).

Rob Artan

@DanielR.Collins Also, wie funktioniert der Prozess, der einen Primteiler von ergibt

p_{1} p_{2} \dots p_{n} + 1

$p_1p_2\ldots p_n+1$ gelingt es nicht, eine neue Primzahl zu konstruieren?

Scott - Слава Україні

@Rob: Ich denke, Daniels Punkt ist, dass der Beweis eine ganze Zahl konstruiert

y > 1

$y>1$ das ist nicht teilbar durch

p_{1}

$p_1$ ,

p_{2}

$p_2$ , …,

p_{n}

$p_n$ , und dann behauptet es , dass es eine Primzahl geben muss

q

$q$ so dass

q ∣ y

$q \mid y$ , aber es baut nicht

q

$q$ .

Daniel R. Collins

^ Ja, das ist es.

Djechlin

Dies ist kein konstruktiver Beweis. Es ist ein Existenzbeweis, der am besten durch Widerspruch verstanden wird. Abstimmen Abstimmen Abstimmen Abstimmen Abstimmen

Jack M

@Scott Aber es gibt einen einfachen Algorithmus, um einen Primteiler einer bestimmten Ganzzahl zu generieren.

John Dvorak

@JackM ja, aber es ist schrecklich langsam.

O (10^{l})

$O(10^l)$ speziell.

Rob Artan

@JanDvorak: Ja, der Beweis führt auch zu einer sehr schlechten Schätzung der Wachstumsrate der Primzahlen (ich erinnere mich, dass dies in Hardy und Wrights Buch über Zahlentheorie diskutiert wird). Trotzdem bleibt es konstruktiv.

Rob Artan

@ JackM: ganz so! Danke schön.

Ei

@djechlin Dies ist ein konstruktiver Beweis und Sie liegen völlig falsch. Die Menge der Teiler einer positiven ganzen Zahl ist endlich. Nehmen Sie jetzt einfach das minimale Element größer als

1

$1$ in der Menge der Teiler; das ist offensichtlich prim. Würden Sie sagen, dass es nicht konstruktiv ist, das minimale Element in einer endlichen Menge ganzer Zahlen zu finden? Übrigens scheint der Widerspruchsbeweis das zu implizieren

p_{1} p_{2} \dots p_{n} + 1

$p_1p_2\dots p_n+1$ ist prime, was die Hauptquelle für Verwirrung bei Neulingen ist.

JiK

@egreg Ich sehe keinen intuitiven Grund, das als konstruktiv zu bezeichnen . Angenommen, ich habe einen Beweis geschrieben, dass es höchstens ein Gegenbeispiel zu Frankls Vermutung geben muss

1000

$1000$ Elemente, ohne einen Hinweis darauf, was das Gegenbeispiel sein könnte. Dies würde bedeuten, alle Elemente in aufzuzählen

P (P ([1000]))

$\mathcal{P}(\mathcal{P}([1000]))$ , eine endliche Menge, und ihre Prüfung würde das Gegenbeispiel liefern. Aber ich würde diesen Beweis nicht als konstruktiv bezeichnen. Ich verstehe jedoch die Vorstellung, dass es konstruktiver ist als einige andere Beweise, also frage ich: Gibt es eine weithin akzeptierte Bedeutung für das Wort konstruktiv ?

Ei

@JiK Bei einer beliebigen (endlichen) Familie von Primzahlen findet die Prozedur eine Primzahl, die nicht zur Liste gehört. Was braucht man mehr, um das konstruktiv zu nennen ?

JiK

@egreg Ein Polynomzeitalgorithmus zum Finden dieser Primzahl bei gegebener Eingabe könnte nett sein! Ich weiß nicht, deshalb habe ich gefragt, was das Wort bedeutet.

Ei

@JiK Warum sollte es Polynomialzeit sein? Das ist völlig egal.

JiK

@egreg Gibt es eine allgemein anerkannte Bedeutung für das Wort konstruktiv?

Johannes Kloos

@JiK: Wäre "jede Existenzaussage und Fallunterscheidung kann als rekursive Funktion kodiert werden" genug für dich?

JiK

@JohannesKloos Ich weiß es nicht. Glücklicherweise spielt meine Meinung keine Rolle, weil ich nicht entscheide, was allgemein akzeptiert wird.

SurfaceIntegral

Es könnte hilfreich sein, den Beweis in rein mengentheoretischen Begriffen zu betrachten. Lassen

P

$\textbf P$ bezeichnen die Menge der Primzahlen (dies ist eine Menge dank des Axiomschemas der Spezifikation). Das besagt der Satz von Euklid

P

$\textbf P$ ist eine abzählbar unendliche Menge. Seit

P

$\textbf P$ ist in den natürlichen Zahlen enthalten

N

$\textbf N$ , es genügt, das zu zeigen

P

$\textbf P$ ist einfach unendlich . Um dies zu zeigen, genügt es, dies für jede endliche Teilmenge zu zeigen

F \subseteq P

$F\subseteq\textbf P$ der Primzahlen

P

$\textbf P$ , die Ergänzung

P ∖ F

$\textbf P\setminus F$ ist eine nichtleere Menge.

SurfaceIntegral

Ich würde sagen, dass der Beweis insgesamt direkt/konstruktiv ist, aber es gibt viele kleinere Instanzen innerhalb des Beweises, die einen schnellen Beweis durch Widerspruch verwenden.

Rob Artan

Sie können in Ihrem Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen kleine Lemmata verwenden, die einen Widerspruchsbeweis beinhalten , aber sie sind nicht notwendig.

Mathematiker · Answer 2

Der Beweis bricht gewissermaßen zusammen. Sie haben einen Widerspruch erreicht, was bedeutet, dass die Hypothese, dass es endlich viele Primzahlen gibt, unmöglich wahr sein kann.
Sie dachten also, Sie hätten 6 Primzahlen, Sie haben 2 zusätzliche gefunden. Können Sie diese beiden einfach zu Ihrer Liste hinzufügen und alle Primzahlen erhalten? Wenn Sie den Vorgang mit diesen 8 Primzahlen wiederholen, werden Sie feststellen, dass Sie noch MEHR Primzahlen haben werden, wenn Sie das Produkt + 1 betrachten. Sie können immer weitermachen und Ihnen werden nie die Primzahlen ausgehen. Das ist die Idee des Beweises. Es verwendet Widerspruch, weil Sie alles in einem Schritt tun können und das potenzielle Problem vermeiden, den Prozess unendlich oft zu wiederholen.

David Schwarz · Answer 3

Angenommen, es existieren nur 6 Primzahlen: 2,3,5,7,11,13

Jedoch teilt keine der 6 aufgelisteten Primzahlen (2,3,5,7,11,13) 30.031.

Dann haben wir schon einen Widerspruch. Da es nur 6 Primzahlen gibt (das haben wir am Anfang angenommen) und keine davon 30.031 teilt, muss 30.031 eine Primzahl sein. Allerdings ist 30.031 keine der nur 6 existierenden Primzahlen. Also kann 30.031 keine Primzahl sein, muss aber eine Primzahl sein.

Der Beweis funktioniert also. Tatsächlich funktioniert es genau gleich, unabhängig davon, welche Menge von Zahlen wir für die einzigen existierenden Primzahlen halten. Somit kann keine endliche Menge von Zahlen alle existierenden Primzahlen enthalten. Es gibt also unendlich viele Primzahlen.

Ich denke, du meinst "... keine endliche Menge von Zahlen ..."

Einlesen · Answer 4

Sie fragen in #1, ob der Beweis zusammenbricht. Nein. Was zusammenbricht, ist die Annahme, dass es keine Primzahlen mehr gibt. Sie sind davon ausgegangen, dass Sie eine vollständige Liste von Primzahlen haben. Dann hast du eine Zahl konstruiert, die durch keine der Primzahlen in deiner Liste teilbar ist. Es bleiben nur zwei Möglichkeiten: Entweder ist die von Ihnen konstruierte Zahl eine Primzahl oder sie ist durch eine Zahl teilbar, die nicht in Ihrer Liste steht. So oder so ist Ihre Liste nicht vollständig, was Ihrer ursprünglichen Annahme widerspricht.

Einfach ausgedrückt, Sie nahmen an, Sie hätten eine vollständige Liste, und indem Sie diese Annahme verwendeten, bewiesen Sie, dass die Liste nicht vollständig war. Die Annahme muss also falsch sein.

Die Antwort auf #3 ist im Grunde die gleiche. Indem Sie bei einer Annahme einen Widerspruch gefunden haben, haben Sie bewiesen, dass die Annahme falsch ist.

Die Antwort auf #2 ist nein, du hast dir nichts bewiesen, indem du festgestellt hast, dass 59 und 509 beide Primzahlen sind. Sie versuchen zu beweisen, dass es eine endliche Liste von Primzahlen gibt. Wenn Sie eine bestimmte Menge von Primzahlen auswählen, wie Sie es bei {2, 3, 5, 7, 11, 13} getan haben, und zeigen, dass diese bestimmte Menge nicht alle Primzahlen enthält, würde ein Skeptiker einfach sagen, dass Sie weitere Primzahlen hinzufügen müssen (wie 59 und 509), weil Sie Ihr Set nicht groß genug gemacht haben. Der Beweis muss allgemeiner sein, weshalb er nicht sagt, wie viele Primzahlen in der endlichen Menge sind. Der Beweis ist so geschrieben, dass er funktioniert, egal wie groß die endliche Menge ist.

Bernhard · Answer 5

Punkt 1: Es ist ein Satz , dass jede natürliche Zahl $n>1$ hat einen Primfaktor. Der Beweis ist einfach: für jede Zahl $n>1$ , die kleinste natürliche Zahl $a>1$ was teilt $n$ ist eine Primzahl (wenn sie keine Primzahl wäre, wäre sie nicht die kleinste).

Punkt 2: Ja, Sie haben bewiesen, dass es mehr als sechs Primzahlen gibt. Na und? Der Widerspruchsbeweis setzt nicht voraus, dass es nur sechs gibt, sondern dass es eine endliche Anzahl von ihnen gibt.

Punkt 3: Eigentlich ist es nicht wirklich ein Widerspruchsbeweis im engeren Sinn . Es ist bewiesen, dass jede endliche Liste von Primzahlen unvollständig ist.

Elf-Elf · Answer 6

Elf-Elf

Hier ist eine nicht-mathematische Herangehensweise an die Logik hinter dem Beweis durch Widerspruch ...

Angenommen, Sie gehen davon aus, dass ein Verdächtiger eines brutalen Mordes unschuldig ist, weil er sagte, er könne nicht an dem Ort gewesen sein, an dem die Person ermordet wurde. Sie haben das Gefühl, dass er möglicherweise die Wahrheit sagt, aber was Sie wissen, ist, dass es 5 weitere Verdächtige gibt. Sie wissen mit 100%iger Sicherheit aufgrund der Einzelheiten des Falls, dass es nicht mehr als 5 weitere Verdächtige anhand nachgewiesener Informationen geben kann. Die Polizei kann jedoch anhand von offensichtlichen physischen Beweisen wie Videokameras überprüfen, dass die 5 Verdächtigen unmöglich schuldig sein können. Dann gibt es entweder einen anderen Verdächtigen oder der Unschuldig geglaubte ist schuldig. Aber wir sagten, dass es unmöglich sei, andere Verdächtige in Betracht zu ziehen. Deshalb ist unser ursprünglicher Verdächtiger schuldig.

Genau das passiert beim Widerspruchsbeweis.

Flohblut

Das ist gut. Aber ich denke, eine bessere Analogie ist, dass Sie 6 Verdächtige haben und davon ausgehen, dass dies die einzigen sechs möglichen Verdächtigen auf der Welt sind. Dann zeigen Kameras, dass jeder unschuldig ist. Daher ist unsere Annahme, dass wir alle Verdächtigen haben, falsch, und daher gibt es eine siebte mögliche Person, die es hätte tun können (und getan hat).

Elf-Elf

Verdammt.... du hast Recht. Es machte logischen Sinn, als ich es schrieb ... aber deins ist besser.

Flohblut

Deiner macht Sinn. Und ist ein Widerspruchsbeweis. Ich dachte nur, dass dies für diesen speziellen Beweis eine nähere Analogie ist. Ich würde nicht sagen, dass deines falsch war oder so.

Elf-Elf

Das war mein ursprüngliches Ziel; verstehen, warum Widerspruch funktioniert. Aber Ihres tut das UND ist analog zu dem vorliegenden Problem. Danke

Rob Artan

Wenn Sie die irrelevanten Details entfernen, beinhaltet Ihr Beispiel keinen Beweis durch Widerspruch. Was Sie über "Ihre Vermutung" sagen und was "Sie fühlen" ist für das Ergebnis irrelevant: Wenn bekannt ist, dass einer von sechs Personen schuldig ist und fünf dieser Personen als unschuldig bekannt sind, dann gibt es nur eine Möglichkeit für den Schuldigen Party. Der gleiche Einwand gilt für die Variante von Flohblut. Beim Widerspruchsbeweis macht man sich die falsche Hypothese zunutze.

Elf-Elf

Wenn Sie davon ausgehen, dass Ihr Verdächtiger unschuldig ist, und Sie wissen, dass es eine begrenzte Anzahl von Verdächtigen gibt, dann verwenden Sie die Tatsache, dass die Vermutung unschuldig ist, weil Sie dann versuchen zu zeigen, dass die verbleibenden Verdächtigen unter der Annahme schuldig sind, dass Ihrer ist unschuldig. Ich habe versucht, das Beispiel so zu "humanisieren" und zu "legitimieren", dass das OP es auf einer nicht-mathematischen Ebene verstehen würde, weshalb ich das Wort Gefühl gewählt habe. Wenn Sie die Unendlichkeit von Primzahlen beweisen, können Sie den Pfad "fühlen" oder intuitiv erkennen, um den Weg logisch zu zeigen.

Rob Artan

@Eleven-Eleven: Lassen Sie es mich noch einmal sagen: Wenn bekannt ist, dass einer von sechs Personen schuldig ist, und wenn bekannt ist, dass fünf dieser Personen unschuldig sind, gibt es nur eine Möglichkeit für den Schuldigen. Dieses Argument beinhaltet keinen Beweis durch Widerspruch.

Elf-Elf

Nehmen wir an, dass eine bestimmte Person unserer sechs Verdächtigen unschuldig ist und dass es unmöglich ist, dass irgendein anderer Verdächtiger beteiligt ist. Dies impliziert, dass die Person nicht schuldig ist. Dies impliziert, dass einer der verbleibenden Verdächtigen schuldig sein muss. Aber es ist nicht Verdächtiger 1 wegen Beweisen ... und es ist nicht Verdächtiger 2 wegen Beweisen ... und ... und es ist nicht Verdächtiger 5 wegen Beweisen. Daher ist keiner der 5 verbleibenden Verdächtigen schuldig, was bedeutet, dass der ursprüngliche Verdächtige schuldig sein muss. Ich habe nur die Implikation der Annahme verwendet, um zu zeigen, dass "P" und "nicht P" unter der Annahme gültig sind ...

Rob Artan

Die Aussage

(A \lor B \lor C \lor D \lor E \lor F) \land (\neg A \land \neg B \land \neg C \land \neg D \land \neg E) \Rightarrow F

$(A \lor B \lor C \lor D \lor E \lor F) \land (\lnot A \land \lnot B \land \lnot C \land \lnot D \land \lnot E) \Rightarrow F$ gilt in der intuitionistischen Aussagenlogik. Daher kann es ohne das Prinzip des Widerspruchsbeweises bewiesen werden. Sie verwechseln ex falso quodlibet mit dem Recht des ausgeschlossenen Dritten.

Elf-Elf

Ich werde zugeben. Ich verstehe es.

Schnur · Answer 7

Der Beweis ist im Wesentlichen übererklärend. Der Punkt des Widerspruchs wäre viel klarer gewesen, wenn der Autor Folgendes getan hätte:

Habe es früher erreicht.
Weniger Notation eingeführt.

Seit $p_1\cdots p_n+1$ kann nichts davon haben $p_1,...,p_n$ als Primfaktor haben wir bereits einen Widerspruch.

Der Rest erklärt nur zu Tode, warum $p_1,...,p_n$ können keine Primfaktoren von sein $y=p_1\cdots p_n+1$ was da klar sein sollte $y$ Ist $1$ davon ab, ein Vielfaches einer dieser Primzahlen zu sein.

Ich denke, das GIF passt nicht wirklich zu dieser Seite, obwohl ich nicht sagen kann, ob es eine bestimmte Regel gegen solche Dinge gibt
@YuriyS: Hmm ... es tut mir leid zu erfahren, dass die Leute es vielleicht unangemessen finden! Das war keineswegs meine Absicht! Glaubst du, es würde besser funktionieren, wenn du das GIF entfernst und den Link und die Redewendung belässt, oder verschleiern all diese Punkte die Punkte, die ich zu machen versucht habe?
@String: Ihr Link zu einem Zeichentrickfilm, in dem ein totes Tier niedergeknüppelt wird, ist unverhältnismäßig und beleidigend.
@RobArthan: Tut mir leid, in einigen Teilen der Welt würde ein solcher Cartoon nur als lustige Art angesehen, das Sprichwort über das Schlagen eines toten Pferdes zu veranschaulichen. Nicht böse gemeint, nur ein leichter Ton. Ich kann nichts dafür, dass die Leute Anstoß nehmen, also habe ich es entfernt. Trotzdem ist es mir ein Rätsel, wie ein Cartoon, der zum Inhalt eines Sprichworts passt, anstößig sein könnte. Ich komme schließlich aus Dänemark.
@String: Auf MSE ist es einfacher, nur eine neutrale Sprache zu verwenden. Da ich (immerhin) Engländerin bin, darf ich darauf hinweisen, dass der klischeehafte Ausdruck eigentlich " ein totes Pferd auspeitschen " ist und nicht die Konnotationen hat, die Sie denken (es ist nicht "zu Tode erklären", es benutzt ein müdes altes Argument, das jegliches Interesse oder Relevanz verloren hat). Ihre Karikatur hilft dabei nicht.

Shai Tibber · Answer 8

Nun ... ja ... es bricht zusammen. Sie haben angenommen, dass es nur 6 Primzahlen gibt, und sind auf einen Widerspruch gestoßen. Sie haben erfolgreich bewiesen, dass es nicht nur 6 Primzahlen gibt.
Unter der Annahme, dass es nur 6 Primzahlen gibt, ist 30.031 nicht faktorisierbar.
Beim Beweis durch Widerspruch beweist man Aussage A, indem man annimmt, dass A nicht wahr ist , und erreicht durch eine Reihe logischer Schritte eine Unmöglichkeit, wodurch bewiesen wird, dass A wahr sein muss . Gleichzeitig haben wir in diesem Beweis angenommen, dass es eine endliche Anzahl von Primzahlen gibt. Nach einer Reihe logischer Schlussfolgerungen gelangten wir zu einem Widerspruch. Da die einzige Annahme, die wir in diesem Prozess gemacht haben, darin besteht, dass es eine endliche Anzahl von Primzahlen gibt, muss diese Annahme falsch sein.

jnyan · Answer 9

Entweder $6$ Primzahlen, die Sie berücksichtigt haben, sind nicht alle Primzahlen, oder $30031$ ist eine neue Primzahl. So oder so ist die Annahme falsch. Beweis durch Widerspruch.
Nein, Sie haben nicht gezeigt, dass es noch zwei weitere Primzahlen gibt. In diesem Beispiel ja, aber nicht generell
Auch hier haben Sie aufgrund Ihrer Annahme etwas Unmögliches erreicht $q$ teilt $1$ . So etwas gibt es nicht $q$ außer $1$ .

Beginnen mit $2,3,5$ die einzigen Primzahlen sind. Dann hättest du $31$ als neue Nummer. $2,3,5$ nicht teilen $31$ . Aber im Gegensatz zu Ihrem Fall $31$ ist eine Primzahl. Die Annahme ist also falsch.

Beweis unendlich vieler Primzahlen

Kurt Müller

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lulu

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Kurt Müller

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Flohblut

Flohblut

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Rob Artan

Ei

JiK

Ei

JiK

Ei

JiK

Johannes Kloos

JiK

SurfaceIntegral

SurfaceIntegral

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Mathematiker

David Schwarz

origimbo

Einlesen

Bernhard

Elf-Elf

Flohblut

Elf-Elf

Flohblut

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Elf-Elf

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Schnur

Jurij S

Schnur

Rob Artan

Schnur

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jnyan