Unendlich viele Primzahlen der Form 8n+18n+18n+1

Ich sehe mir dieses lustige kleine Problem an, bei dem es darum geht, die Existenz einer unendlichen Anzahl von Primzahlen einer bestimmten Form zu beweisen:

Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die in der Form ausgedrückt werden können 8 N + 1 Wo N ist eine positive ganze Zahl.

Mein Beweis geht so:

Nehmen Sie im Widerspruch an, dass es beispielsweise nur endlich viele solcher Primzahlen gibt P 1 , P 2 , … , P R . In Betracht ziehen P = 16 P 1 4 P 2 4 ⋯ P R 4 + 1 = ( 2 P 1 P 2 ⋯ P R ) 4 + 1 . Daran erinnern, dass die Kongruenz X 4 ≡ − 1 Mod P ist lösbar genau dann wenn P ≡ 1 Mod 8 . P kann keine Primzahl der Form sein 8 N + 1 , Aber P ≡ 1 Mod 8 , Widerspruch. Es muss also unendlich viele Primzahlen der Form geben 8 N + 1 .

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich hier tatsächlich einen Widerspruch erreiche. Können Sie mir helfen, das zu klären?

Ist dein P prim?

Antworten (2)

Diese Idee scheint in Ordnung zu sein, obwohl Sie das bemerken P muss nicht Ihre Zahl selbst sein, kann aber einer ihrer Teiler sein.

16 P 1 4 P 2 4 … P R 4 + 1 muss einen Primteiler haben P , und es ist keines der bestehenden P ich , noch ist es 2. Außerdem X = 2 P 1 P 2 … P R erfüllt die Kongruenz X 4 + 1 ≡ 0 ( Mod P ) , und deshalb P ≡ 1 ( Mod 8 ) , ein Widerspruch.

Übrigens, gibt es eine clevere Art, diese letzte Tatsache zu sehen? Sicherlich kann man argumentieren, dass die Reihenfolge der X muss 8 sein, und daher 8 | ϕ ( P ) , aber das erfordert ziemlich viel Maschinerie für ein sehr elementares Problem.
Sie halten die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einer arithmetischen Folge für elementarer als diese Tatsachen über die Reihenfolge der Elemente modulo P ?
Diese besondere arithmetische Folge, ja.
Ein Chacun-Sohn, Goût!

Beanspruchen:

Die ungeraden Primteiler von N 4 + 1 sind von der Form 8 k + 1

Aus N 4 ≡ − 1 ( Mod P ) wir haben N 8 ≡ 1 ( Mod P ) , also die Reihenfolge von N modulo P Ist 8 , und aus dem folgenden Satz:

Wenn A ist in Ordnung k modulo N , Dann A H ≡ 1 ( Mod N ) iff k | H . Auch k | ϕ ( N ) .

Es folgt dem 8 | ϕ ( P ) , oder anders gesagt: P = 8 k + 1 .

Das ist ordentlich, beweist aber noch nicht die Unendlichkeit. Was wäre, wenn die Menge aller Werte von N 4 + 1 hat nur wenige ungerade Primteiler?
Unendlich viele Primzahlen der Form 8n+18n+18n+1
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