geführter Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen auf der arithmetischen Folge 4n+34n+34n + 3 gibt

Question

geführter Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen auf der arithmetischen Folge 4n+34n+34n + 3 gibt

Mathematik
Primzahlen
Elementarzahlentheorie

izzorts

Die Übung besteht darin, diesen Satz mit den folgenden Lemmata zu beweisen:

1) Beweise Lemma A: Jede Primzahl ≠ 2 hat eine der beiden Formen $4n + 1$ oder $4n + 3$

2) Beweisen Sie Lemma B: das Zahlenprodukt der Form $4n + 1$ ist von der Form $4n + 1$ .

Ich werde die Beweise der Lemmas weglassen, da ich an ihren Beweisen nicht zweifele. Ich frage noch einmal, ob der folgende Beweis irgendeinen Fehler hat.

Nachweisen:

Nehmen wir im Widerspruch an, dass es endlich viele Primzahlen der Form gibt $4n + 3$ , sagen, $p_1, p_2, ..., p_k.$ Definieren $N = 4p_1...p_k - 1 = 4(p_1...p_k - 1) + 3.$ $N$ > $p_k$ und ist von der Form $4n + 3$ , ist also keine Primzahl. So $N$ muss durch eine Primzahl teilbar sein. Seit $N$ ist durch nichts teilbar $p_i$ oder 2, dieser Primteiler muss > sein $p_k$ und folglich nach Lemma A der Form $4n + 1$ . Nun besagt der Hauptsatz der Arithmetik, dass jede Nicht-Primzahl in Primzahlen faktorisierbar sein muss. Seit $N$ ist durch nichts teilbar $p_i$ , es muss Primzahlen geben $f_1, ..., f_l$ auf welche $N$ ist faktorisierbar. Aus der Hypothese und aus Lemma A folgt, dass diese Primzahlen von der Form sein müssen $4n + 1$ und nach Lemma B muss es so sein $N$ , ein Widerspruch.

Legendre

Ihr Beweis sieht gut aus, aber vielleicht interessiert Sie folgende Strategie: Definieren Sie N so wie Sie es getan haben und zeigen Sie, dass es durch eine Primzahl der Form 4n + 3 teilbar sein muss oder selbst eine Primzahl sein muss, ein Widerspruch. Es ist im Wesentlichen das, was Sie dort haben, aber in einem Schritt weniger.

izzorts

Ich sehe nicht ein, warum es durch eine Primzahl der Form 4n + 3 teilbar sein sollte. Es sollte sicherlich durch eine Primzahl teilbar sein oder selbst eine Primzahl sein, aber wie können Sie die Einschränkung bezüglich der Form rechtfertigen?

Legendre

Eine Primzahl muss entweder die Form 4n + 3 oder 4n+1 haben, da sie sonst durch zwei teilbar ist. Da Sie eine Zahl der Form 4n + 3 konstruiert haben, ist sie entweder selbst eine Primzahl oder durch andere Primzahlen teilbar. Aber wenn diese anderen Primzahlen alle die Form 4n+1 haben, ist das ein Widerspruch, da das Produkt solcher Zahlen die Form 4n+1 haben muss. Die Zahl hat also einen Primfaktor kleiner als sie von der Form 4n + 3, ein Widerspruch, da die endlich vielen aufgeführten Primzahlen sie nicht teilen.

Antworten (2)

geführter Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen auf der arithmetischen Folge 4n+34n+34n + 3 gibt

Ihr Beweis sieht gut aus, aber vielleicht interessiert Sie folgende Strategie: Definieren Sie N so wie Sie es getan haben und zeigen Sie, dass es durch eine Primzahl der Form 4n + 3 teilbar sein muss oder selbst eine Primzahl sein muss, ein Widerspruch. Es ist im Wesentlichen das, was Sie dort haben, aber in einem Schritt weniger.
Ich sehe nicht ein, warum es durch eine Primzahl der Form 4n + 3 teilbar sein sollte. Es sollte sicherlich durch eine Primzahl teilbar sein oder selbst eine Primzahl sein, aber wie können Sie die Einschränkung bezüglich der Form rechtfertigen?
Eine Primzahl muss entweder die Form 4n + 3 oder 4n+1 haben, da sie sonst durch zwei teilbar ist. Da Sie eine Zahl der Form 4n + 3 konstruiert haben, ist sie entweder selbst eine Primzahl oder durch andere Primzahlen teilbar. Aber wenn diese anderen Primzahlen alle die Form 4n+1 haben, ist das ein Widerspruch, da das Produkt solcher Zahlen die Form 4n+1 haben muss. Die Zahl hat also einen Primfaktor kleiner als sie von der Form 4n + 3, ein Widerspruch, da die endlich vielen aufgeführten Primzahlen sie nicht teilen.

Legendre · Answer 1

Ihr Beweis ist gut, betrachten Sie jedoch die folgende (etwas kürzere) Version:

Angenommen, es gibt endlich viele Primzahlen der Form $4n + 3$ , Ruf Sie an $p_1, p_2, \dots p_k$ . Dann überlege

N = 4 (P_{1} P_{2} \dots P_{k}) - 1

$N = 4(p_1p_2\dots p_k) - 1$ Dies ist immer noch in der Form

4 n + 3

$4n + 3$ da es deckungsgleich ist

- 1 \equiv 3 (\mod 4)

$-1 \equiv 3(\mod 4)$ . Beachten Sie auch, dass keiner der

p_{i}

$p_i$ teilen

N

$N$ . Daher,

N

$N$ entweder prim oder zusammengesetzt ist. Wenn

N

$N$ prim ist, gelangen wir zu einem Widerspruch, da es sich um eine neue Primzahl der gewünschten Form handelt. Vermuten

N

$N$ zusammengesetzt ist, dann muss es eine Primzahl der Form geben

4 n + 3

$4n+3$ Dividieren durch dein Lemma, auch ein Widerspruch, da keiner der

p_{i}

$p_i$ teilen

N

$N$ .

Dieser Beweis ist fast identisch mit Ihrem, aber zu beachten ist, dass Sie ihn einfach im Formular belassen können $4k - 1$ da dies äquivalent ist $4(k-1) + 3$ .

mb- · Answer 2

mb-

Der Beweis ist stichhaltig, je nach Studiengang kann es vorkommen, dass Sie aufgefordert werden (zumindest ohne weiteres in der Lage sein sollten), die Aussage zu begründen

„N ist durch nichts teilbar $p_i$ , oder 2.

Ansonsten sieht gut aus.

izzorts

In der Tat. Übrigens, da es sich um einen geführten Beweis handelte, war es selbstverständlich, dass dies der Fall war (und es scheint intuitiv wahr zu sein). Also habe ich darüber nachgedacht und festgestellt, dass es nicht durch 2 teilbar ist, weil es ungerade ist (was ziemlich unmittelbar ist) und durch nichts teilbar ist

p_{i}

$p_i$ (was nicht so offensichtlich vertretbar ist) denn wenn man dividiert

N = 4 p_{1} . . . p_{k} - 1

$N = 4p_1...p_k - 1$ von jedem

p_{i}

$p_i$ Sie werden zwangsläufig zu einem rationalen Ergebnis kommen.

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izzorts

Legendre

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Legendre

Antworten (2)

Legendre

mb-

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