Kann Zahlentheorie visualisiert werden?

Ein funkelndes Juwel an der Schnittstelle von Zahlentheorie und Geometrie ist Aubrys reflektierte Erzeugung primitiver pythagoräischer Tripel, dh teilerfremder Naturzahlen$\,(x,y,z)\,$mit$\,x^2 + y^2 = z^2.\,$Teilen durch$z^2$Erträge$\,(x/z)^2\!+(y/z)^2 = 1,\,$also entspricht jedes Tripel einem rationalen Punkt$(x/z,\,y/z)$auf dem Einheitskreis. Aubry zeigte, dass wir alle diese Tripel durch einen sehr einfachen geometrischen Prozess erzeugen können. Beginnen Sie mit dem trivialen Punkt$(0,-1)$. Ziehe eine Linie zum Punkt$\,P = (1,1).\,$Sie schneidet den Kreis im rationalen Punkt$\,A = (4/5,3/5)\,$ergibt das Tripel$\,(3,4,5).\,$Als nächstes reflektieren Sie den Punkt$\,A\,$in die anderen Quadranten, indem alle möglichen Vorzeichen jeder Komponente genommen werden, dh$\,(\pm4/5,\pm3/5),\,$was das unten eingeschriebene Rechteck ergibt. Wie zuvor, die Linie durch$\,A_B = (-4/5,-3/5)\,$Und$P$schneidet den Kreis in$\,B = (12/13, 5/13),\,$ergibt das Tripel$\,(12,5,13).\,$Ebenso die Punkte$\,A_C,\, A_D\,$ergibt die Tripel$\,(20,21,29)\,$Und$\,(8,15,17),\,$
Wir können diesen Prozess mit den neuen Punkten wiederholen$\,B,C,D\,$das Gleiche tun, für das wir getan haben$\,A,\,$weitere Verdreifachungen zu erhalten. Durch Induktion erzeugt dieser Prozess die primitiven Tripel als ternären Baum

$\qquad\qquad$
Der Abstieg im Baum wird durch die Formel angegeben (deren reflektierende geometrische Genese unten angegeben ist)

z.B$\ (12,5,13)\mapsto (12,5,13)-8(1,1,1) = (-3,4,5),\ $nachgeben$\,(4/5,3/5)\,$bei Reflexion in den ersten Quadranten.

Der Aufstieg im Baum erfolgt durch Invertieren dieser Karte, kombiniert mit trivialen Vorzeichenwechselreflexionen:

$\quad\quad (-3,+4,5) \,\mapsto\, (-3,+4,5) - 2 \; (-3+4-5) \; (1,1,1) = ( 5,12,13)$

$\quad\quad (-3,-4,5) \,\mapsto\, (-3,-4,5) - 2 \; (-3-4-5) \; (1,1,1) = (21,20,29)$

$\quad\quad (+3,-4,5) \,\mapsto\, (+3,-4,5) - 2 \; (+3-4-5) \; (1,1,1) = (15,8,17)$

Wenn wir auf diese Weise fortfahren, können wir den gesamten Baum der primitiven pythagoreischen Tripel reflektierend erzeugen, zB entspricht die oberste Kante des Tripelbaums dem aufsteigenden$C$-beschriftete Zickzacklinie$(-1,0), (3/5,4/5), (-3/5,4/5), (5/12,12/13), (-5/12,12/13), (7/25,24/25), (-7/25,24/25) \ldots$

Schauen wir uns die zugrunde liegende Geometrie etwas genauer an. Betrachten Sie den quadratischen Raum$Z$des Formulars$Q(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2\,$mit lorentzianischem inneren Produkt$(Q(x\!+\!y)-Q(x)-Q(y))/2\,$gegeben von

$\qquad v \cdot u\, =\, v_1 u_1 + v_2 u_2 - v_3 u_3.\ \ $Daran erinnern, dass die Reflexion von$v$In$u$wird von gegeben

$\quad\quad v\, \mapsto\, v - 2 \dfrac{v \cdot u}{u \cdot u} u \quad$Reflektivität ist klar:$\; u \mapsto -u$, Und$\; v \mapsto v$Wenn$\; v\perp u, \;$dh$v\cdot u = 0$.

Mit$\; v = (x,y,z)$Und$\; u = (1,1,1)$der Norm$1$wir haben

$\quad\quad (x,y,z)\; \mapsto (x,y,z) - 2 \dfrac{(x,y,z)\cdot(1,1,1)}{(1,1,1)\cdot(1,1,1)} (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (x,y,z) - 2 \; (x\!+\!y\!-\!z) \; (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (-x\!-\!2y\!+\!2z, \; -2x\!-\!y\!+\!2z, \; -2x\!-\!2y\!+\!3z)$

Dies ist die nichttriviale Reflexion, die den Abstieg im Tripelbaum bewirkt. Einfacher gesagt:Wenn$\,x^2 + y^2 = z^2\,$Dann$\,(x/z, y/z)\,$ist ein rationaler Punkt$P$auf dem Einheitskreis$C$dann zeigt eine einfache Rechnung, dass die Leitung durch ist$P$Und$(1,1)$schneidet$C$in einem kleineren rationalen Punkt, der projektiv über die obige Reflexion gegeben ist.

Diese Technik lässt sich leicht auf die Form verallgemeinern$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n-1}^2 = x_n^2$für$4 \le n \le 9$, aber für$n \ge 10$die pythagoreischen n-Tupel fallen in mindestens$[(n+6)/8]$unterschiedliche Umlaufbahnen unter der Automorphismusgruppe der Form - siehe Cass & Arpaia (1990) [1]

Es gibt auch Verallgemeinerungen auf verschiedene Formformen, die zuerst von L. Aubry (Sphinx-Oedipe 7 (1912), 81-84) verwendet wurden, um elementare Beweise für die zu liefern$3$&$4$Quadratsatz (siehe Anhang 3.2 S. 292 von Weil: Number Theory an Approach Through History ). Diese Ergebnisse zeigen, dass wenn eine ganze Zahl durch eine Form rational dargestellt wird, sie es auch ganzzahlig sein muss. Das Verfahren gilt auch für die folgenden Formulare$x^2+y^2, x^2 \pm 2y^2, x^2 \pm 3y^2, x^2+y^2+2z^2, x^2+y^2+z^2+t^2,\ldots$Genauer gesagt zeigt sich im Wesentlichen derselbe Beweis wie für pythagoräische Tripel

Satz Angenommen, die$n$-äre quadratische Form$F(x)$hat ganzzahlige Koeffizienten und keine nichttriviale Nullstelle${\mathbb Z}^n$, und nehme an, dass für alle$x \in {\mathbb Q}^n$Es gibt$\,y \in {\mathbb Z}^n$so dass$\; |F(x\!-\!y)| < 1$. Dann$F$repräsentiert$m$über$\mathbb Q$ $\iff$ $F$repräsentiert$m$über$\mathbb Z$, für alle Ganzzahlen ungleich Null$m$.

Die Bedingung$|F(x\!-\!y)| < 1$ist eng mit dem Euklidischen Algorithmus verbunden. Tatsächlich gibt es ein Funktionsfeld-Analogon, das den euklidischen Algorithmus verwendet, der 1963 unabhängig von Cassels wiederentdeckt wurde:Ein Polynom ist eine Summe von$n$Quadrate hinein$k(x)$wenn das auch in gilt$k[x]$. Pfister wandte dies sofort an, um eine vollständige Lösung des Niveauproblems für Körper zu erhalten. Kurz darauf verallgemeinerte er das Cassel-Ergebnis auf beliebige quadratische Formen und begründete damit die moderne algebraische Theorie der quadratischen Formen ("Pfister-Formen").

Aubrys Ergebnisse sind in der Tat sehr spezielle Fälle allgemeiner Ergebnisse von Wall, Vinberg, Scharlau et al. auf reflektiven Gittern , dh arithmetische Gruppen von Isometrien, die durch Spiegelungen in Hyperebenen erzeugt werden. Im Allgemeinen erzeugen Reflexionen die orthogonale Gruppe von Lorentzschen quadratischen Formen in Dim$< 10$.

[1] Daniel Cass; Pasquale J. Arpaia-
Matrix-Generierung von pythagoräischen n-Tupeln.
Proz. Amer. Mathematik. Soc. 109, 1, 1990, 1-7.

Es gibt ein Gebiet namens arithmetische Geometrie , das Verbindungen zwischen arithmetischen und algebrogeometrischen Fragen ausnutzt.

Zum Beispiel die berühmten Gleichungen von Fermat$X^n + Y^n = Z^n$kann man sich als eine Kurve im projektiven Raum vorstellen, Fermat-Kurven genannt , und man kann geometrische Werkzeuge verwenden, um sie zu untersuchen.

Der affine Teil, also$X^n + Y^n = 1$ist irgendwo zwischen einem Kreis und einem Quadrat; für klein$n$in der Nähe eines Kreises (gut für$n=2$es ist natürlich ein Kreis, aber das ist nicht relevant für FLT) und für groß$n$es nähert sich einer quadratischen Form.

Die Clifford-Algebra, auch bekannt als geometrische Algebra, ist ein höchst außergewöhnlicher synergistischer Zusammenfluss einer Vielzahl von spezialisierten mathematischen Gebieten, jedes mit seinen eigenen Methoden und Formalismen, die alle einen einzigen einheitlichen Formalismus unter der Clifford-Algebra finden. Es ist eine vereinheitlichende Sprache für die Mathematik und eine aufschlussreiche Sprache für die Physik.

Clifford Algebra: Eine visuelle Einführung

Keine Antwort, aber vielleicht ein guter Diskussionsbeitrag. Dies ist von Seite 261 von Siobhan Roberts brillantem Genius at Play , einer Biographie von John H. Conway. Sie zitiert Conway:

Als wir zum ersten Mal am ATLAS [von endlichen Gruppen] gearbeitet haben, haben wir es nicht wirklich zu schätzen gewusst. Also wirst du nicht. Ich denke, es ist am besten, die Dinge nicht mit Zahlen zu erklären. Zahlen verwende ich ungern. Nur so kann ich die schönen Seiten dieser Gruppen herausarbeiten. Ich würde etwas anderes tun - Bilder zeichnen, wenn ich könnte - aber ich kann keine schön symmetrischen Dinge in 7-dimensionalen Räumen zeichnen, ... Für mich sind Zahlen ein Ersatz für Fühlen, Fühlen, Sehen, alles andere. Mit dem hochdimensionalen Raum kann ich es nicht berühren, kann es nicht fühlen, kann es nicht sehen. Ich kann es berechnen, aber die Berechnung ist nicht der Punkt. Die Zahlen sind eine Reihe von Anweisungen. Eine Reihe von Anweisungen ist nicht schön, aber das sind die Zahlen, eine Reihe von Anweisungen, Punkt für Punkt.

https://en.wikipedia.org/wiki/ATLAS_of_Finite_Groups

http://www.amazon.com/Atlas-Finite-Groups-Subgroups-Characters/dp/0198531990

http://www.amazon.com/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938