Was ist synthetische Geometrie?

Abhängig von der Ausbildung, die Sie hatten, ist der Unterschied wahrscheinlich im Wesentlichen der zwischen Ihren Algebra- und Geometriekursen in der Schule. In einem ersten Geometriekurs bekommt man meistens eine Liste von Axiomen für Punkte und Geraden (zwischen zwei beliebigen Punkten kann man eine gerade Strecke ziehen usw.) Dann erstellt man mit diesen Axiomen Beweise für Eigenschaften von Figuren in der Ebene, ohne jemals zu schreiben unten alle algebraischen Gleichungen. Insbesondere verwenden Sie bei dieser Art von Geometrie, die als synthetisch bezeichnet wird, niemals Koordinaten in der Ebene.

Die alten Griechen haben die synthetische Geometrie in der Ebene und im dreidimensionalen Raum auf ein erstaunliches Niveau gebracht, viel weiter, als fast jeder heute lernt. Sie verstanden zum Beispiel die „Kegelschnitte“, also Parabeln, Ellipsen, (Kreise) und Hyperbeln, fast vollständig. Aber heute stellt man sich zum Beispiel eine Parabel normalerweise als den Graphen einer Gleichung vor$y=ax^2+bx+c$. Es ist diese Gleichung, die die Wahl eines Paares von Koordinatenachsen auf der Ebene und einer Einheitslänge auf jeder Achse erfordert, das ist es, was die analytische Geometrie verwendet, was die synthetische Geometrie vermeidet. Die synthetisch-analytische Unterscheidung ist in der modernen geometrischen Forschung immer noch sehr sichtbar, auch wenn sich die speziellen interessierenden Fragestellungen drastisch geändert haben.