Wie kann man zwischen dem Gehen auf einer Kugel und dem Gehen auf einem Torus unterscheiden?

Holen Sie sich einen (zweidimensionalen) Hund und eine sehr lange (eindimensionale) Leine. Schicken Sie Ihren Hund auf Erkundungstour und lassen Sie die Leine spielen. Wenn der Hund zurückkommt, versuchen Sie, die Leine einzuziehen. (Das heißt, Sie versuchen, die Schlaufe einzurollen, während Sie und der Hund an Ort und Stelle bleiben.) Auf einer Kugel kann die Leine immer eingezogen werden; auf einem Torus kann es manchmal nicht sein.

(Siehe Homotopie .)

Die Gaußsche Krümmung ist ein Beispiel für eine intrinsische Krümmung, dh sie ist für die „Bewohner“ der Oberfläche nachweisbar. Das Gauß-Bonnet-Theorem gibt einen Zusammenhang zwischen der Gaußschen Krümmung$K$und die Euler-Charakteristik$\chi$. Für einen glatten Krümmer$M$ohne Grenze:

Sie könnten, wie es die Mitarbeiter der Verordnungsvermessung tun, Triangulationspunkte auf Ihrer Oberfläche auswählen, die Gaußsche Krümmung an diesen Punkten messen und diese dann verwenden, um das obige Integral anzunähern.

Reisen Sie viel und stellen Sie eine Weltkarte dar. Versuchen Sie dann, jedem Staat auf Ihrer Karte eine Farbe zu geben, damit die Nachbarn unterschiedliche Farben haben. Wenn Sie mehr als vier Farben benötigen, befinden Sie sich auf einem Torus.

Dies ist nur eine Neuformulierung der Lösung von @Fly by Night, da die chromatische Zahl von der Gattung abhängt.

Auf eine deterministischere Weise können Sie in einen Torus a einbetten$K_5$, dh Sie können finden$5$Punkte$A_1,\ldots A_5$so dass es existiert$10$nicht kreuzende Wege aus$A_i$Zu$A_j$, auf einer Sphäre kannst du das nicht.

Als Alternative sind zwei unterschiedliche Punkte gegeben$A$Und$B$auf der oberfläche kann man den ort von äquidistanten punkten (bezogen auf die geodätische entfernung) aus zeichnen$A$Und$B$. Wenn ein solcher Ort zwei verbundene Komponenten hat, befinden Sie sich auf einem Torus.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Oberfläche zu „kämmen“. Wenn Sie dazu in der Lage sind, befinden Sie sich auf einem Torus. Und ich wette, dass das Borsuk-Ulam-Theorem im Allgemeinen eine Fülle von Möglichkeiten bietet. Beispielsweise kann auf einem Torus der Wind (als kontinuierliches Vektorfeld) in jedem Punkt mit einer Intensität ungleich Null wehen, auf einer Kugel nicht.

Oder versuchen Sie, viele konzentrische Kreise zu zeichnen. Befindet man sich auf einem Torus, muss sich früher oder später einer dieser Kreise selbst schneiden.

Und dank Giovanni Barbarino gibt es auf einer torischen Oberfläche immer einen Punkt mit Schwerelosigkeit, daher gibt es einige Probleme beim Bau von Häusern in der Nähe.

Wenn die Welt, in der Sie leben, irgendeine Form haben könnte, die homöomorph zu einer Kugel oder einem Torus ist, dann können Sie nicht beweisen, dass es kein Torus ist, ohne die gesamte Oberfläche zu untersuchen. Der Grund dafür, dass die Oberfläche fast genau wie eine Kugel aussehen könnte, abgesehen von einem kleinen Griff irgendwo, der sie topologisch zu einem Torus macht:

$\hspace{120px}$
^{(Bild von Wikimedia Commons ; erstellt und öffentlich zugänglich gemacht von Oleg Alexandrov .)}

Die Abbildung oben zeigt eine Kugel mit drei (ziemlich großen) Griffen; Diese Griffe könnten auf einen beliebig kleinen Teil der Oberfläche geschrumpft werden, ohne ihre topologische Gattung zu ändern.

Was wäre also, wenn wir davon ausgehen, dass Sie bereits jeden Zentimeter der Oberfläche untersucht und keine kleinen Griffe gefunden haben? Wie können Sie feststellen, ob es große Griffe gibt, die Sie nicht bemerkt haben, nur weil Sie gerade durch sie gegangen sind?

Eine Lösung wäre, eine (unendlich) elastische Seilschlaufe zu bekommen, die zunächst an einer einzigen Stelle zusammengerollt ist, und sie nach außen zu dehnen, bis sie sich auf der anderen Seite der Welt trifft. Schieben Sie das Seil dann weiter vom Startpunkt weg und in Richtung des ersten Kontaktpunkts, bis das sich bewegende Seil die gesamte Oberfläche bedeckt hat.

Wenn Sie dadurch das Seil auf einen einzigen Punkt zurückschrumpfen können, ohne dass es sich jemals wieder über einen Teil der Oberfläche bewegt, an dem es bereits zuvor vorbeigegangen ist, ist Ihre Oberfläche eine Kugel; Wenn Sie eine Seilschlaufe haben, die Sie nicht loswerden können, haben Sie einen Torus (oder eine Oberfläche einer höheren Gattung).

Hoffentlich wird das Land mit (zweidimensionalen) Bäumen gefüllt: Nehmen Sie ein sehr langes Seil und beginnen Sie, die Bäume so zu verbinden, dass jeder Baum die Spitze eines Dreiecks ist. Tun Sie das, bis die ganze Welt mit Seildreiecken bedeckt ist. Beginnen Sie nun mit dem Zählen der mit dem Seil gebildeten Dreiecke, der Seilstücke, die die Bäume verbinden, und der Bäume, mit denen Sie die Dreiecke gebildet haben. Jetzt kannst du rechnen

Wenn es keine Bäume gibt, können Sie einige Stangen verwenden :)

Eine Möglichkeit, einen Torus aus einer Kugel zu bestimmen, wäre der Versuch, ihn zu kämmen . Wenn der ganze Weizen auf dem Planeten so geneigt oder gebürstet werden kann, dass es keinen Wirbel gibt , dann ist der Planet ein Torus.

Beachten Sie den Wirbel, den Tori nicht haben:

Kein Wirbel:

Angesichts der Tatsache, dass wir auf einem Torus leben und die meisten Leute denken, dass es sich um eine Kugel handelt, ist es wahrscheinlich sehr schwer, den Unterschied zu erkennen.

Ich bin kein Mathematiker und habe tatsächlich die Schule abgebrochen, also zögern Sie nicht, mich zu schlagen, wenn das falsch ist, aber:

Kannst du nicht einfach anfangen, in einer "geraden Linie" zu gehen, während du beim Gehen deinen Weg auf dem Boden zeichnest? Wenn Sie nie wieder dort ankommen, wo Sie angefangen haben, befinden Sie sich auf einem Torus. Wenn Sie zum Ausgangspunkt zurückkehren, machen Sie eine 90-Grad-Wende und gehen Sie erneut, bis Sie wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren. Wenn dein zweiter Weg deine erste Linie einmal kreuzt, bist du auf einer Kugel. Wenn es sich nicht oder mehr als einmal kreuzt, befinden Sie sich auf einem Torus. Andernfalls befinden Sie sich auf einer Kugel.

BEARBEITEN: Dies setzt voraus, dass "Torus" "perfekt symmetrischer Donut" bedeutet, im allgemeinen Fall von Torus = Kugel + Griffe funktioniert es nicht.

"Mr. Sphere, ist meine Welt ein Torus oder eine Kugel?"

Die Herausforderung dabei ist, dass etwas topologisch eine Kugel sein kann, ohne die exakte Geometrie einer Kugel zu haben. Wenn Sie zum Beispiel auf der Oberfläche einer Sanduhrform laufen, ist es topologisch immer noch eine Kugel, aber wenn Sie ein Seil um den „Hals“ fädeln, wird es nicht festgezogen.

Betrachten Sie stattdessen einen Torus als topologisch identisch mit einer großen Kugel mit einer zusätzlichen Schleife darauf, die Sie an eine andere Stelle auf der Kugel "verzerrt" (ein bisschen wie ein Gymnastikball mit einem Griff ). Wir suchen systematisch nach Schleifen, die sich nicht "festziehen", und testen sie, um zu sehen, ob es sich nur um Vorsprünge oder um das "Krümmungsstück" eines Torus handelt. Dies kommt in zwei Teilen:

1: Gehen Sie in einer expandierenden Spirale, um nach Schlaufen zu suchen: Befestigen Sie ein Ende eines Seils am Boden und gehen Sie im Kreis, wobei Sie eine Kreidespur auf dem Boden hinterlassen. Jedes Mal, wenn Sie einen Kreis vollendet haben, geben Sie sich etwas mehr Seil und versuchen Sie es erneut.

Wenn Sie an irgendeinem Punkt Ihr eigenes Seil kreuzen, haben Sie eine Schlaufe gefunden, die Sie testen müssen. Wenn Sie am Ende Ihre eigene Kreidelinie überqueren, haben Sie alternativ zwei Schleifen zum Testen gefunden (eine für jede Richtung auf der Kreide, der Sie zurück zu Ihrem Ausgangspunkt folgen).

2: Testen Sie alle Kandidatenschleifen: Dazu versuchen Sie im Grunde, sich nach innen zu winden und zu sehen, ob Sie sich selbst treffen oder an eine andere Stelle auf der Kugel "verzerrt" werden. Mit verschiedenfarbiger Kreide die Außenseite der Schlaufe rundherum nachzeichnen. Verfolgen Sie diese Kante dann wiederholt, aber leicht "innen" (d. h. weg von Ihrem Zuhause, in den Bereich, den Sie noch nicht betreten haben).

Wenn Sie sich selbst spiralförmig zu einem Punkt drehen, haben Sie gezeigt, dass der von Ihrer Schleife umschlossene Bereich topologisch flach ist und daher mit einer Kugel übereinstimmt. Sie suchen weiter nach weiteren Schleifen zum Testen, bis Sie die gesamte Oberfläche Ihrer Welt abgedeckt haben.

Wenn Sie alternativ auf Linien in Ihrer ursprünglichen Kreidefarbe stoßen, bedeutet dies, dass die Schleife, die Sie gefunden haben, um die „Kette“ eines Torus gewickelt wurde.

Diese Methode sollte jede mögliche Schleife in Ihrer Welt finden. Wenn Sie sie also alle testen und keinen "Warp" finden, müssen Sie sich auf einer Kugel befinden.

Ich denke, dass die höher bewerteten Antworten die Frage beantworten, außer dass sie eine Art Gesamtwissen und Unpraktikabilität erfordern.

Was wäre, wenn wir davon ausgehen, dass sich Licht auf der Oberfläche auf die übliche Weise in „geraden“ Linien ausbreitet? Dann könnte ein Programm, das Strahlen von einem einzigen festen Punkt aussendet und den möglicherweise zurückgeworfenen Strahl misst, ausreichende Informationen liefern.

Auf einer Kugel kehrt der Strahl unabhängig von der gewählten Richtung immer und mit der gleichen Dämpfung von 180 Grad vom Emitter zurück. Während es auf einem Torus einen Wertebereich mit zwei Minima gibt. Die erforderliche Gesamtflugzeit könnte, ich habe es nicht überprüft, je nach gewähltem Winkel beliebig groß gemacht werden.

Angenommen, Sie befinden sich auf einer perfekten Kugel.

Dann ist der Umfang an jedem Punkt gleich.

Wenn Sie also einen Punkt auf dem Objekt auswählen, dann in einer geraden Linie gehen und die Entfernung messen, dann einen neuen Punkt und eine neue Richtung auswählen und diese Entfernung messen. Auf einer perfekten Kugel sind diese beiden Entfernungen gleich.

Eine andere Möglichkeit wäre, dass Sie als Flachlander Ihren Rücken direkt vor sich sehen könnten, wenn Sie sich umdrehen. Der Abstand zum Rücken sollte konstant sein.

Es ist Zeit, Ihre Tanzschuhe anzuziehen!

Binden Sie ein Seil an sich und verankern Sie das andere Ende am Boden. Lassen Sie eine andere Person dasselbe mit sich selbst tun, wobei ihr Seil an einer anderen Stelle am Boden verankert ist.

Jetzt tanz, kleiner Flachländer. Tanzen!

Stellen Sie sicher, dass Sie beide an einem der Ankerpunkte landen, wenn Ihr Tanz beendet ist (natürlich können Sie nicht beide am selben Ankerpunkt landen). Stellen Sie auch sicher, dass Sie keinen „langweiligen Tanz“ machen, womit ich meine, dass Ihre Seile so miteinander verflochten sein sollten, dass Sie nicht daran ziehen können, damit das Seil direkt von Ihnen nach unten auf den Boden geht.

Ich hoffe du bist nicht müde, denn jetzt musst du...

Wieder tanzen!

Machen Sie denselben Tanz wie zuvor – das ist wichtig.

Wenn Sie auf einem Torus tanzen und eine dritte Person versuchen würde, die Seile zu entwirren, sodass sie direkt von Ihrer Taille zum Ankerpunkt verlaufen, wäre sie niemals in der Lage, dies zu tun. Wenn Sie jedoch auf einer Kugel tanzen, wird die dritte Person immer in der Lage sein, die Seile zu lösen, und Sie sind fertig!

Dies ist im Wesentlichen eine Anwendung der Tatsache, dass die Flechtgruppe von zwei Saiten auf dem Torus torsionsfrei ist, die Flechtgruppe von zwei Saiten auf der Kugel jedoch isomorph dazu ist$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Eigentlich würde das auch mit mehr als nur zwei Personen funktionieren – der Zopfgruppe von$n$Saiten auf dem Torus ist torsionsfrei für$n\geq 2$und die Zopfgruppe von$n$Saiten auf der Kugel hat Torsion für alle$n\geq 2$(obwohl die Reihenfolge der Torsionselemente nicht immer so sein wird$2$und die Zopfgruppen der Sphäre sind für keinen endlich$n\geq 3$).

Wir können dies auch verwenden, um jede andere geschlossene Oberfläche von der Kugel zu unterscheiden.

Die Zopfgruppe$B_n(T_g)$von$n$Saiten auf einer geschlossenen Fläche der Gattung$g$ist torsionsfrei genau dann, wenn$n\geq 2$Und$g\geq 1$.

Da wir Planetenseile in Betracht ziehen, ausreichende Ressourcen, um Planetenoberflächen zu markieren und ganze Planetenoberflächen zu kämmen, wie wäre es mit etwas, das sowohl "parallel" als auch mit einem Analogon in der Realität ist ...

Bringen Sie einen Satelliten in eine Umlaufbahn um die Stadt der Flatlander (um aus der akustischen Verschmutzung herauszukommen) und messen Sie entweder das resonante akustische Spektrum der Welt oder erzeugen Sie eine Breitbandquelle und messen Sie die resultierenden Ring-Down-Spektren. Akustische Spektren von Toroiden und akustische Spektren von Sphäroiden sind unterscheidbar. Für ein reales Analogon siehe die Diskussion der Daten, die aus COBE-, WMAP- und Planck-Daten abgeleitet wurden. Beispiel Torus . Allgemeiner Artikel . Experimentelle Einschränkungen:

• Wenn das Universum zu groß ist, wird eine höhere Detektorempfindlichkeit und/oder mehr Schallleistung benötigt.
• Wenn die lokale Umgebung zu laut ist, muss ein besserer Ort für den Detektor gefunden werden.
• Wenn die globale Metrik zu uneinheitlich ist, kann das Spektrum zu kompliziert zu verstehen sein. Dies betrifft intrinsische Krümmungsmethoden in anderen Antworten. Ein besonders wahrscheinliches Problem wird die Streuung natürlicher Moden sein.
• Einige der oben genannten Probleme können teilweise behoben werden, indem mehr Satelliten aufgestellt und Interferometrie betrieben werden.
• Wenn es sich um einen Torus handelt und die Geometrie ein großer Körper mit einem winzigen Griff ist, können sehr hohe Frequenzen erforderlich sein. Größere Empfindlichkeit und Schallleistung können wiederum erforderlich sein. Dieses Problem wurde auch in anderen Antworten angesprochen. Wenn sich herausstellt, dass akustische Methoden eine kompakte potenziell toroidale Anomalie nicht auflösen können, müssen möglicherweise Teilchenbeschleuniger an der Stelle der Anomalie gebaut werden, um eine ausreichend feine Auflösung zu erhalten. Beachten Sie, dass es a priori kein Versprechen gibt, dass Prozesse innerhalb der Welt in der Lage sind, willkürliche Komplexitäten in der Geometrie der Welt aufzulösen, sodass es möglicherweise unmöglich ist, eine potenzielle Anomalie aufzulösen.
• Wenn sich die Geometrie der Welt schneller als die Schallgeschwindigkeit ändert, hat diese Methode Probleme. Natürlich sind alle Seil-/Markierungs-/Kämmlösungen noch mehr behindert ... (Man könnte denken, Licht zu verwenden, aber Flachland ist voller Nebel. Dies ist ein entscheidender Bestandteil der Flachländer, die den Rang derer identifizieren, denen sie begegnen.)

Hinweis: Ich sage nicht , etwas außerhalb von Flatland zu veröffentlichen. Für diese Methode siehe meine andere Antwort.

Ich habe gefunden: Wie man zwischen der Oberfläche einer Kugel und der Oberfläche eines Torus unterscheidet

Nehmen Sie einen flachen kreisförmigen Ring mit einem Durchmesser von weniger als Min (Durchmesser der Kugel, Innendurchmesser des Torus) und platzieren Sie ihn frei einmal irgendwo auf der gegebenen Oberfläche der Kugel oder des Torus und prüfen Sie, ob der gesamte Umfang des Rings genau die unbekannte Oberfläche berührt dann es ist die Oberfläche einer Kugel, ansonsten ist es die Oberfläche eines Torus (unter der Annahme einer perfekten Geometrie von Kugel und Torus).

Wenn es Ihnen gelingt, eine nicht trennende Schleife zu finden, wissen Sie, dass Sie sich nicht auf einer Kugel befinden.

Ich würde mit der Annahme einer flachen 2D-Oberfläche beginnen. Vermessen Sie dann einen ausreichend großen rechten Winkel. Die Beziehung zwischen den drei Punkten sollte zeigen, ob die wahre Oberfläche ein Torus oder eine Kugel ist, teilweise im Einklang mit der Antwort von @ Fly by Night .

Im Laufe der Zeit konnte man auch die winzigen Schwankungen in Abstand und Winkel zwischen den drei Punkten messen und auch eine Fülle von gravitativen und seismologischen Daten über die Welt gewinnen.

Eine einfache Antwort. (Wenn Sie die zurückgelegte Strecke messen können.)

Machen Sie ein paar Fahrten auf beiden Oberflächen (gehen Sie einfach geradeaus, bis Sie den Ausgangspunkt erreichen). Wenn es sich um eine Kugel handelt, legen Sie jedes Mal die gleiche Strecke zurück, jedoch nicht auf einem Torus. Dazu müssen Sie einen Startpunkt festlegen und eine Richtung festlegen, zu der die Flachländer in der Lage sind. Sie müssen die Fahrtrichtung jeder Fahrt um einen "ungeraden" Winkel ändern (nicht um 90 Grad oder ein Vielfaches davon). Ich denke, 3 Fahrten auf jeder Oberfläche würden ausreichen.

EDIT1:

Spiralen mit konstanter Breite, die orthogonal zu Geodäten sind, die auf einem Torus gezeigt werden, sind unbegrenzt. Aber auf einer Kugel sind sie zwischen zwei Parallelen begrenzt, die für eine Halbkugel gezeigt sind. Stellen Sie sich den Abstand zwischen benachbarten Zähnen eines Kamms mit dem gleichen Abstand zwischen winzigen Rädern auf einer Achse vor. Ein haariger Torus erlaubt das Kämmen über seine gesamte Länge, aber eine haarige Kugel kämmt nur entlang einer begrenzten Länge bis zu den Polkappen des roten Kreises außerhalb der Grenzen .

Topologisch gesehen schneiden sich zwei Geodäten, die von demselben Punkt auf einer Kugel ausgehen, in einem Antipodenpunkt, während dies bei einem Torus nicht der Fall ist. Mit einem Freund (und genügend Zeit) können Sie dies also tun.