Geometrische Intuition hinter dieser Kettenhomotopie

Warnung: Verwenden Sie im Folgenden die Notation von Lees Introduction to Topological Manifols .

Meine Frage hat mit der Kettenhomotopie zu tun, die in Lees Introduction to Topological Manifols und Rotmans Introduction to Algebraic Topology vorkommt und beweist, dass die Inklusion

Induziert einen Isomorfismus in singulärer Homologie

Für alle$p\geq 0$. Zunächst eine Reihe von Definitionen

Wenn$\alpha=A(v_0,\dots,v_p)$ist ein affiner Singular$p-$simplex in einer konvexen Menge$K\subseteq\mathbb{R}^n$Und$w$ist irgendein Punkt in$K$, definieren wir einen affinen Singular$(p+1)-$Simplex$w*\alpha$rief den Kegel an$\alpha$aus$w$von:

$$w*\alpha=w*A(v_0,\dots,v_p)=A(w,v_0,\dots,v_p)$$

Und wir erweitern diesen Operator um Linearität auf affine Ketten:$w*\big(\sum_{i\in I}n_i\alpha_i\big)=\sum_{i\in I}n_i(w*\alpha_i)$

In beiden Referenzen wird eine wichtige Formel bezüglich der Beziehung zwischen Rand- und Kegeloperatoren bewiesen

Wenn$c$ist dann eine affine Kette

$$\partial(w*c)=c-w*\partial c$$

Es ist offensichtlich, dass wenn$c$ein Zyklus ist, wird die letzte Formel$\partial(w*c)=c$, und Rotman nennt dies eine Integrationsformel .

Danach definieren beide Autoren einen Operator$s$das sendet affine$p-$Ketten in affine$p-$Ketten, genannt der baryzentrische Unterteilungsoperator . Dies geschieht per Induktion:

Für$p=0$,$s=\text{Id}$

Nehme an, dass$s$wurde für einige definiert$p\in\mathbb{N}$. Dann für alle affine$(p+1)-$Simplex$\alpha:\Delta_p\longrightarrow\mathbb{R}^n$legen wir fest

$$s\alpha=\alpha(b_p)*s\partial\alpha$$

Wo$b_p$ist das Baryzentrum des Standard-Singular-Simplex$\Delta_p$, und wir erweitern diesen Operator um Linearität auf affine Ketten:$s\big(\sum_{i\in I}n_i\alpha_i\big)=\sum_{i\in I}n_is\alpha_i$

Um diesen Operator nun auf beliebige singuläre Ketten zu erweitern, beachten Sie, dass if$\sigma$ist ein Singular$p-$Simplex in jedem Raum$X$, Dann$\sigma=\sigma_{\#}i_p$, Wo$i_p:\Delta_p\longrightarrow\Delta_p$ist die als affiner Singular betrachtete Identitätskarte$p-$Simplex ein$\Delta_p$, Und$\sigma_\#:C_\bullet(\Delta_p)\longrightarrow C_\bullet(X)$ist die Kettenabbildung, die aus der kontinuierlichen Abbildung erhalten wird$\sigma$.

Die Idee ist also, dass wir eine singuläre Kette haben$c$, dann wenden wir nacheinander den Unterteilungsoperator an, wir erhalten eine Kette, die homolog zu ist$c$, aber deren Simplizes Bilder haben, die alle in Elementen von liegen$\mathcal{U}$.

Um dies zu beweisen, sollten wir eine Kettenhomotopie zwischen dem Identitäts- und dem Unterteilungsoperator finden, also einen Homomorphismus$h:C_p(X)\longrightarrow C_{p+1}(X)$so dass

Aber Lee und Rotman geben

Und durch Linearität zu Ketten erweitern. Ich habe jedoch Schwierigkeiten zu verstehen, welche geometrische Intuition hinter dieser faszinierenden Formel steckt. Ich habe versucht, was zu zeichnen$h$sieht aus wie wann$\sigma=\text{Id}_{\Delta_1}$, aber es ist wirklich schwer (unmöglich?) sich diese Handlung vorzustellen$2-$vereinfacht

Im Gegensatz zur Kettenhomotopie, die im Beweis des Homotopie-Axioms erscheint, ist dies wirklich weniger intuitiv und stützt sich stark auf das, was Rotman die Integrationsformel nennt .

Also meine Fragen sind

• Wie ist diese Karte geometrisch zu verstehen$h$? Was ist die geometrische Intuition, die es uns erlaubt, diese eine gute Kettenhomotopie für unsere Zwecke zu wählen?

• Wie ist die Formel zu verstehen$\partial(w*c)=c-w*\partial c$? Welche Bedeutung hat diese Gleichung geometrisch gesehen?

• Wie kommt man überhaupt auf eine solche Karte? Wie hat sich dieses Theorem historisch entwickelt?

Ich verstehe beide Demonstrationen vollkommen, da die Berechnungen leicht nachzuvollziehen sind; Ich bin nur besorgt darüber, dass diese Karte auf den ersten Blick keine Intuition über die beteiligte Geometrie vermittelt.