Wie stellt man sich die Form einer Mannigfaltigkeit S2×S1S2×S1S^2 \times S^1 vor?

Jeder Produktverteiler$M \times N$kann als Konfigurationsraum für ein Teilchenpaar visualisiert werden, von denen eines weiterwandert$M$und einer davon reist weiter$N$. So$S^2 \times S^1$kann als Konfigurationsraum eines Teilchenpaares visualisiert werden, von denen sich eines auf einer Kugel und eines auf einem Kreis bewegt.

Es gibt eine alternative Visualisierung wie folgt. Zuerst denkt man an$S^2 \times I$als verdickte Kugel (wie a$3$-dimensionaler Ring), mit einer inneren Begrenzungskugel$S^2 \times \{ 0 \}$und eine äußere Begrenzungskugel$S^2 \times \{ 1 \}$. Dann identifiziert man die beiden Grenzen. (Bearbeiten: Ich habe nicht bemerkt, dass Sie bereits über diese Visualisierung gesprochen haben. Ich denke, es kann hilfreich sein.)

Im Allgemeinen werden wahrscheinlich unterschiedliche Personen unterschiedliche Dinge aus unterschiedlichen Visualisierungen herausholen. Verwenden Sie, was für Sie funktioniert.

Wie Qiaochu Yuan und Mariano Suarez-Alvarez sagten, finde ich die einfachste Art zu denken$\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1$ist als verdickte Kugel mit zwei identifizierten Grenzkomponenten.

In diese Richtung könnte man auch denken$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$als$(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}) / \mathbb{Z}$, Wo$\mathbb{Z}$wirkt durch Übersetzung auf den zweiten Faktor. Es ist leicht zu visualisieren$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$--- es ist nur ein Loch$\mathbb{R}^3$.

Manchmal finde ich es jedoch nützlich, daran zu denken$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$als (degenerierter) Linsenraum, erhalten durch Kleben zweier fester Torii über die Identitätsabbildungsklasse von$T^2$. Da eine an eine Scheibe geklebte Scheibe eine Kugel ergibt und die Identität Meridian an Meridian sendet, wobei Kompressionsscheiben entlang ihrer Grenzen geklebt werden, können Sie sehen, dass dies eine durch einen Kreis parametrisierte Familie von Kugeln ergibt.

Eine dicke Kugel, deren zwei Begrenzungskomponenten identifiziert sind.

Man könnte es sich als 4-dimensionalen „Torus“ „vorstellen“, der durch „Drehen“ einer Kugel im 4D-Raum in eine torusähnliche Form gebildet wird, deren Querschnitte senkrecht (zum Rotationskreis) Kugeln (oder Kugelpaare) sind. . Die Oberfläche dieses "Torus", um genau zu sein, die 3 Dimensionen hat. Obwohl man sich 4D nicht wirklich vorstellen kann. Eine andere Möglichkeit besteht darin, sich einen Raum vorzustellen, der in zwei Dimensionen "kugelförmig" ist (d. h. sich nur in diesen zwei Dimensionen zu bewegen, ist wie sich auf der Oberfläche einer Kugel zu bewegen) und "linear" (wie herkömmliches 3D/" flachen" Raum) in der dritten, aber so, dass Sie nach einer endlichen Entfernung entlang der dritten genau dort enden, wo Sie begonnen haben - obwohl die anderen beiden Dimensionen diese Eigenschaft auch haben,

Beachten Sie, dass$S_1 \times S_1$kann auf die gleiche Weise als normaler Torus betrachtet werden: Denken Sie an einen Kreis, der sich um eine Achse dreht, die ihn nicht kreuzt, und in seiner eigenen Ebene.

Funktioniert es bei dir geometrisch, wenn du siehst$A \times B$, stellen Sie sich die beiden Räume vor, die gleichzeitig, aber getrennt passieren? Als ob jede Hand eine kontrollieren könnte.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie hätten zwei Einheitsscheiben nebeneinander. Es könnten zwei Hebel sein, die gemeinsam einen Roboter oder ein Düsenflugzeug oder eine Abrissbirne und so weiter steuern. (Die Welle, die bis zu Ihrer Hand reicht, ist nicht modelliert.) Zum Beispiel der Gashebel in einem Flugzeug$(0,1)$wie die Steuerung auf einem Boot; eine Winde, eine Winde und eine Haspel sind$S^1$; und ein Schalthebel in einem Auto bewegt sich in einer verzweigten 1-D-Struktur mit 0.

" Manuelles Layout " von Manual_Dogleg.svg : Syed abgeleitetes Werk: DoktorMandrake - Manual_Dogleg.svg . Lizenziert unter Public Domain über Wikimedia Commons .

Wenn ich darüber nachdenke, glaube ich, dass sich das Steuer eines Flugzeugpiloten nicht nur in einer Scheibe bewegt, sondern hin und her, und es kann gedreht werden.

Jedenfalls, wenn man eine Hand an einer Winde hätte$S^1$und andererseits auf einem Trackpad$S^2$, dann wäre Ihr Kontrollsatz$S^1 \times S^2$.

Ich füge das nur hinzu, weil ich überrascht bin, dass niemand es erwähnt hat. Diese Mannigfaltigkeit kann man sich auch als die Drei-Sphäre vorstellen$S^{3}$mit einem daran befestigten Griff.

Sie können sich vorstellen$S^{3}$als geschlossenen 3er-Raum, lösche 2, 3-Bälle darin und identifiziere ihre Grenzen. Wenn Sie also in einen Ball "hinein" gehen, kommen Sie aus dem anderen heraus. Dies beschreibt auch ein einzelnes Wurmloch in einem räumlich geschlossenen Universum. Dies wird beispielsweise in einem Artikel von Gibbons und Hawking beschrieben.