Eine Triangulation von Δp×IΔp×I\Delta_p\times I

Wenn man sich über diese Dinge wundert, ist es wahrscheinlich eine gute Idee, etwas über abstrakte simpliziale Komplexe und simpliziale Mengen zu lernen.

Ein abstrakter Simplizialkomplex ist eine Sammlung von Mengen$X_n$(die n-Simplexe), indiziert durch die nicht negativen ganzen Zahlen, und Grenzkarten$d_i: X_{n+1} \rightarrow X_n$Wenn$0 \leq i \leq n+1$die einige Beziehungen erfüllen, die aus dem Fall der üblichen Simplizialkomplexe abgeleitet sind.

Dies ist eine naheliegende Verallgemeinerung, wenn man sich nur um simpliziale Komplexe und simpliziale Abbildungen zwischen ihnen kümmert. Man kann den Funktor "geometrische Realisierung" und den Funktor "Vergiss die Topologie" verwenden, um zwischen simplizialen Komplexen und abstrakten simplizialen Komplexen hin und her zu gehen. Der "Vergessen Sie den Topologie-Funktor" ist unkompliziert, übersetzen Sie einfach die Grenzkarten und n-Simplices in einen abstrakten Simplizialkomplex. Der Funktor "geometrische Realisierung" nimmt einfach einen n-Simplex für jedes Objekt an$X_n$und klebt die Grenzen mit den zuvor erstellten (n-1)-Simplices über die Informationen der Grenzkarten zusammen.

Eine abstrakte simplizial komplexe Karte ist nur eine Sammlung von Karten$X_i \rightarrow Y_i$die die Grenzkarten respektieren. Wenn man sich ein wenig mit der Kategorientheorie auskennt, scheint dies reif für die Beschreibung über Pendeldiagramme zu sein, und man sieht, dass dies dasselbe ist wie die Sammlung von Funktoren$\operatorname{Bad}\Delta ^{op} \rightarrow \operatorname{Set}$Wo$\operatorname{Bad}\Delta$hat Objekte die Sets$\{0,1,\dots,n\}=[n]$und Pfeile die strenge Ordnung bewahrende Karten zwischen ihnen.

Ohne über zu viel Kategorientheorie zu sprechen, der Grund$\operatorname{Bad}\Delta$Das Schlimme in diesem Zusammenhang ist, dass es nur Informationen darüber verschlüsselt, wie wir Simplizes ineinander einbauen können. Wir würden auch gerne über simpliziale Karten sprechen können, die n-Simplices in kleinere Simplizes kollabieren. Der Weg, dies zu beheben, ist durch Definition$\Delta$die gleichen Objekte haben wie$\operatorname{Bad}\Delta$, aber Karten zwischen ihnen sind alle ordnungserhaltenden Karten. Dann nennen wir die Kategorie der Funktoren$\operatorname{Set}^{\Delta^{op}}$die Kategorie$\operatorname{SSet}$. Jedes Objekt dieser Kategorie wird als simpliziale Menge bezeichnet. Bei der Konstruktion einer simplizialen Menge reicht es aus, nur Karten bereitzustellen$d_i :X_m \rightarrow X_{m-1}$Und$s_i :X_m \rightarrow X_{m+1}$vorausgesetzt, sie erfüllen einige Beziehungen. Die ersten werden als Gesichtskarten bezeichnet, die zweiten als Degenerationskarten.

Die Definition ist sehr ähnlich, aber jetzt sind unsere Modelle für den n-Simplex vielleicht nicht offensichtlich (überprüfen Sie, ob jede nicht leere simpliziale Menge Simplizitäten in jeder Dimension hat!). " n-simplex unserer Kategorie als Funktor$\operatorname{Hom}(-,[n])$, wenn Sie mit dem Yoneda-Lemma vertraut sind, könnte es gut sein, es hier zu verwenden, um zu überprüfen, ob dies eine gute Definition ist.

Eine letzte Sache zu simplizialen Mengen, bevor wir uns mit Ihrem Problem befassen können. Wir nennen einen n-Simplex einer simplizialen Menge entartet, wenn er im Bild einer durch einen Pfeil induzierten Abbildung liegt$\Delta ^{n+1} \rightarrow \Delta^{n}$(eine der Entartungskarten). Es stellt sich heraus, dass wir einen ähnlichen geometrischen Realisierungsfunktor erstellen können, der eine simpliziale Menge nimmt und uns durch Kleben einen topologischen Raum gibt, und dass die degenerierten Simplizes den Raum, den wir erhalten, nicht beeinflussen.

Hier sind einige Dinge, die leicht genug zu beweisen sind:

1. Das Produkt ein$\operatorname{SSet}$ist durch das Produkt der Sätze von Simplizes mit Entartungs- und Grenzkarten gegeben, die durch ihre Produkte gegeben sind.

2. Geometrische Realisierung pendelt mit Produkten (zumindest für simpliziale Mengen mit nur endlich vielen nicht entarteten Simplizes).

3. Unser Modell für einen n-Simplex entspricht der simplizialen Menge, die nicht entartete k-Simplexe hat, die k-Simplexe des üblichen n-Simplex mit Flächen- (Grenz-)Karten$d_i$gegeben durch Vergessen der i-ten Koordinate und Entartungskarten$s_i$gegeben durch Wiederholung der i-ten Koordinate. Insgesamt handelt es sich also um schwach ansteigende Zahlenfolgen$[n]$.

4. Die Realisierung unseres Modells eines n-Simplex ist ein n-Simplex.

5. Wenn jede Fläche eines n-Simplex nicht entartet und einzigartig ist und jede Fläche die gleiche Eigenschaft hat, dann ist ihr entsprechender Teil der geometrischen Realisierung topologisch ein n-Simplex. Wenn jeder nicht entartete Simplex diese Eigenschaft hat und keine zwei mehr als ein Gesicht gemeinsam haben, gibt es eine Triangulation der Realisierung, die durch das Vergessen der entarteten Simplizes gegeben ist.

6. Wenn jeder nicht entartete k-Simplex für alle im Bild der Gesichtsabbildung eines nicht entarteten (k+1)-Simplex ist$k <n$, und es gibt keine nicht entarteten Simplizes höherer Dimension als$n$, dann ist die geometrische Realisierung eine Vereinigung der topologischen n-Simplizes (die einige Grenzen identifiziert haben könnten), die den nicht entarteten n-Simplizes entsprechen, mit Schnittpunkten, die durch Flächenkarten mit möglicherweise unterschiedlichem Index gegeben sind, die zusammenfallen.

Zeigen wir das für$n=p+1$die Hypothese von Aussage 6 gilt für$\Delta ^p \times \Delta^1$. Ein k-Simplex davon sieht aus wie$([v_0,\dots,v_k],[w_0,\dots, w_k])$bei dem die$v_i$sind in$[p]$und schwach ansteigend und die$w_i$sind in$[1]$und schwach ansteigend. Wir möchten klassifizieren, wie all die nicht entarteten aussehen. Nach unseren früheren Überlegungen ist dies dasselbe, als würde man das für alle verlangen$0 \leq i < k$das ist nicht der Fall$v_i = v_{i+1}$Und$w_i=w_{i+1}$. Betrachten wir, wann dies nicht der Fall ist. Wenn die$[v_0,\dots,v_k]$hat zwei Indizes$i,j$so dass$v_i = v_{i+1}$Und$v_j = v_{j+1}$, dann muss es degeneriert sein. Dies liegt daran, dass alle Vereinfachungen von$\Delta^1$aussehen$[0,0,\dots,0,1,1,\dots,1]$und wenn ein nicht entartetes Paar$([v_0,\dots,v_k],[w_0,\dots, w_k])$hat eine Wiederholung in den Eckpunkten des ersten Simplex am Index$i$, dieser muss genau an dem Index kommen, wo der zweite Simplex abschaltet$0$Zu$1$weil sonst$([v_0,\dots, v_i,v_{i+2},\dots v_k],[w_0=0,\dots,w_i=0,w_{i+2}=1,\dots,w_k=0])$hätte es als seine i-te Entartung. Der erste Simplex darf also niemals mehrere Wiederholungen haben; es kann genau eine Wiederholung haben, wenn es auftritt, wenn der zweite Simplex von 0 auf 1 wechselt; und wenn das erste Simplex keine Wiederholungen hat, kann es eindeutig nicht das Bild einer Entartungskarte sein.

Alle letzteren sind das Bild eines nicht-degenerierten Simplex unter einer Gesichtskarte, da wir direkt einen nicht-degenerierten Simplex konstruieren können, indem wir einen Index des ersten Simplex genau dort wiederholen, wo der Swap herkommt$0$Zu$1$tritt im zweiten Simplex auf. Mehr kann gesagt werden, wenn die ersteren nicht das Bild eines nicht entarteten Simplex unter einer Gesichtskarte sind, haben diese alle$k=p+1$da wir andernfalls einen neuen Scheitelpunkt einfügen könnten, um einen Simplex zu konstruieren, dessen Fläche er ist. Wenn$k=p+1$Dies kann nicht passieren, da wir zwei Wiederholungen im ersten Simplex von irgendetwas haben müssten, von dem es ein Gesicht ist.

Durch unsere obige Argumentation und die leicht zu beweisenden Tatsachen haben wir also die Erkenntnis davon$\Delta^p \times \Delta ^1$ist gleich$\Delta^p \times I$als topologischer Raum, und dass er die Vereinigung der Realisationen der Simplizes ist$([0,1,\dots,l,l,l+1,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$. Jedes Gesicht eines einzelnen dieser Simplizes ist eindeutig einzigartig und nach unseren Beobachtungen nicht entartet, wobei alle Gesichter die gleiche Eigenschaft in Bezug auf ihre Gesichter haben. In der Realisierung ist also der jedem nicht entarteten Simplex entsprechende Simplex homöomorph ein Simplex. Die einzigen nicht entarteten (p+1)-Simplices, die Gesichter gemeinsam haben, sind dann die der Form$([0,1,\dots,l,l,l+1,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$Und$([0,1,\dots,l+1,l+1,l+2,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$denn über die Folge von Nullen und Einsen zusammen mit dem Wissen, welche Indizes des ersten Simplex, falls vorhanden, wiederholt werden, können wir aus jedem nicht entarteten p-Simplex den nicht entarteten (p+1)-Simplex rekonstruieren, von dem es eine Seite von to ist einer der oben genannten sein. Wenn der p-Simplex eine Seite dieser beiden (p + 1)-Simplices ist, ist er außerdem die einzige solche Seite.

Ich hoffe, das ist zufriedenstellend: Wir haben eine Zerlegung eines Raums gefunden, der homöomorph zu ist$\Delta ^p \times I$in (p+1)-Simplizes mit der Eigenschaft, dass unter der offensichtlichen Ordnung die einzigen Schnittpunkte durch benachbarte Simplizes gegeben sind, die sich in einem p-Simplex schneiden, und es hat eine Gesamttriangulation, die durch die nicht entarteten Simplizes des Simplizialsatzes gegeben ist.