Erholungsprobleme in der Mengenlehre?

Hier ist eine gute: Finden Sie eine explizite Bijektion zwischen zwei Intervallen [0,1] und [0,1).

Ich finde es irgendwie lustig zu sehen, wie so viele Dinge elegant aus Definitionen oder Axiomen folgen:

• Das Regelmäßigkeitsaxiom besagt, dass jede nichtleere Menge$x$hat ein Element$y$das ist disjunkt von$x$: $$\forall x : (x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x : (y\cap x= \emptyset ))$$ Schluss damit:
  • $a \notin a$
  • $a \notin b$oder$b \notin a$
  • Es gibt keine unendliche Folge$a_1 \ni a_2 \ni a_3 \dots$

• Eine Ordnungszahl ist eine Menge$\alpha$das ist

  • transitiv , das heißt für alle$x \in \alpha$, wir haben$x \subseteq \alpha$, Und
  • total geordnet bzgl. Set-Inklusion, also für jeden$x, y \in \alpha$wir haben$x \subseteq y$oder$y \subseteq x$.

  Zeigen Sie das für alle$\beta \in \alpha$,$\beta$ist ebenfalls eine Ordnungszahl.

  Da finde ich diesen hier besonders süß

  zu zeigen, dass$\beta$transitiv ist, brauchen Sie die Tatsache, dass$\alpha$wird bzgl. Set inkludion bestellt und umgekehrt.

Wann immer Sie das Wahlaxiom verwenden möchten, fragen Sie sich zuerst, ob Sie stattdessen eine Wahlfunktion bauen könnten. Dies führt meistens zu lustigen Problemen.

Schnell wachsende Hierarchie? Wenn das nicht als Mengenlehre gilt, können Sie versuchen, große zählbare Ordinalzahlen oder nur große Kardinalzahlen zu definieren. Und vergessen Sie nicht Hamkins, den König der Freizeitmengenlehre!