Eine Gleichung, die eine schöne oder einzigartige Form zur Motivation von Schülern in Mathematik erzeugt

Ich möchte Spirographen erwähnen .

Die Formeln sind eigentlich recht einfach, aber ich befürchte, dass mein Latex-Foo nicht ausreicht, um sie hier adäquat wiederzugeben. Ich verweise also nur auf die Wikipedia-Seite und einige Beispielbilder (ebenfalls aus Wikipedia):

Fraktale sind immer eine gute Bildquelle. Es ist nicht allzu schwer, das Konzept hinter einem Fraktal zu erklären, und dann können sich die Schüler an den hübschen Darstellungen erfreuen. Einige davon sind auch für Schüler leicht selbst zu spielen – für die Koch-Schneeflocke, die Drachenkurve oder die Sierpinski-Dichtung muss man keine komplizierte Funktionentheorie kennen. Fraktale können auch zu netten Diskussionen über „Unendlichkeit“ führen.

Edit: Ich hätte die Frage genauer lesen sollen! Gleichungen. Lassen Sie mich versuchen, mein Googeln nach hübschen Bildern zu retten ...

Oft entstehen Fraktale aus der wiederholten Anwendung einer einzelnen Funktion (Julia setzt ein$\mathbb{C}$aus$z^2 + c$als Mutter aller Beispiele), sie entsprechen also Lösungsmengen einer Gleichung mit unendlich verschachtelten Ausdrücken. Sie könnten das Verfahren zur Erzeugung der Koch-Schneeflocke oder der Drachenkurve auch als Gleichung aufschreiben. (Formal wird Ersteres als „Schneeflocken einer Metrik“ bezeichnet, aber die Notation und die Konzepte sind wahrscheinlich etwas über Ihrem Publikum.) Diese helfen auch, darauf hinzuweisen, dass Funktionen aus einer Perspektive prozedural sind.

Polynomkurven der Form$\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\cdot x^{2k}\cdot y^{2(n-k)}=r^{2n}$, mit$a_k=a_{n-k}$. Dies ist für den Fall

$n=4$Und$r=2$, mit$a_0=a_4=0.1$,$a_1=a_3=4$, Und$a_2=-7$. Durch die Änderung der Parameter,

wild unterschiedliche Formen können gebildet werden.

Weitere sternförmige Grafiken, bestimmt durch Auftragen der Polargleichung$r(t)=|\cos(nt)|^{\sin(2nt)}$

für$2n$zwischen$1$Und$8$, Und$t\in(0,2\pi)$.

Natürlich sind Herzkurven wirklich schön, oder Rosen oder Zykloiden .

Aber wenn Sie nach wirklich coolen Sachen suchen, was ist dann mit der Albert-Einstein-Kurve ? Diese parametrische Gleichung ergibt wirklich 2Pac . Gauss ist auch interessant.

WolframAlpha kann Kurven anderer Personen zeichnen . Mein Favorit ist Nicolas Cage .

Hier ist eine Möglichkeit, Bündel faszinierender (meistens) periodischer Kurven zu erzeugen, die durch Hinzufügen von komplexen Zahlen mit Einheitslänge der Form gezeichnet werden

für$0 \le n < abc$, Wo$a,b,c$sind feste positive ganze Zahlen.

Hier sind einige davon mit den entsprechenden Werten von dargestellt$a,b,c$:

Bitte beachten Sie, dass zwei gleiche Kurven wie die sanduhrähnlichen Formen in Position 1 und 3 manchmal mit unterschiedlichen Werten von erzeugt werden können$a,b,c$.

Hier ist das Matlab-Programm, das diese 25 Kurven erzeugt hat:

clear all;close all;
set(gcf,'color','w');axis equal off;hold on
for P=1:5
   for Q=1:5;
      V=ceil(9*rand(1,3));a=V(1);b=V(2);c=V(3);L=a*b*c;
      S=zeros(1,L+1);
      for n=0:L;
         m=n/a+(n^2)/b+(n^3)/c;
         S(n+1)=exp(2*pi*i*m);
      end
      S=cumsum(S);
      M=mean(S);S=S-M;R=max(abs(S));S=S/R;
      shi=3*(P+i*Q);
      plot(shi+S);
      text(real(shi),-1.5+imag(shi),num2str(V),'horizontalalignment','center');
   end;
end;

Bemerkungen :

1) Diese Idee stammt von dem erklärten Logo, das Sie hier finden können: https://math.stackexchange.com/users/119775/david

2) Über Spirographen kann man die folgende großartige Simulation verwenden: https://nathanfriend.io/inspirograph/