Überraschende Anwendungen der Kohomologie

Hier ist eine lächerliche Anwendung der Kohomologie: ein Beweis von

Lassen$X=(S_1)^n$sei der$n$-dimensionaler Torus. Nach der Künneth-Formel$H^j(X, \mathbf Q)$Dimension hat${n \choose j}$. Daher ist die Euler-Charakteristik von$X$Ist

Andererseits,$X$eine kompakte Lie-Gruppe ist; lassen$\sigma$sei eine infinitesimale Übersetzung$X \to X$. Nach dem Fixpunktsatz von Lefschetz gilt:$\chi(X)$gleich der Anzahl der Fixpunkte von ist$\sigma$, dh,$0$.

Einer realen Anwendung nahe kommt vielleicht die Anwendung auf gemischte finite Elemente.

Finite-Elemente-Außenrechnung

Kurz gesagt: Statt numerisch zu lösen

Gemischte finite Elemente werden beispielsweise in der Elastizität oder Fluiddynamik verwendet, wo der Druck$p$ein Lagrange-Multiplikator, lebt naturgemäß in anderen Räumen als die Deformation$\varphi$des Materials. Es war vorher bekannt, dass die Wahl der Approximationsräume von$p$Und$\varphi$ist entscheidend. Numerische Lösungen können existieren, aber sie können sich enorm von der realen Lösung unterscheiden, auch für hochauflösende Simulationen. (Mangelnde Stabilität.)

die Verwendung von (Co)Homologie führt zu einem einheitlichen Verständnis dieses Bereichs. Zuerst müssen Sie einen Hilbert-Komplex finden, sodass die zugehörige Hodge-Laplace-Gleichung die PDE von Interesse ist. Das Finden des richtigen Komplexes oder das Kombinieren mehrerer Komplexe zum Aufbau eines neuen erfordert die Anwendung von Werkzeugen aus der homologischen Algebra.

Wenn die numerische Näherung einen beschränkten Morphismus zwischen zwei Komplexen impliziert, der die Kohomologiegruppen erhält, dann sind die entsprechenden finiten Elemente stabil! (Natürlich gibt es einige typische Annahmen für finite Elemente, die ebenfalls erfüllt werden müssen.)

Ich liebe die Tatsache, dass die numerische Mathematik hier von einem abstrakteren Ansatz profitiert und tatsächlich hat diese Technik auch dazu beigetragen, zuvor ungelöste Probleme zu lösen!

Es hängt alles davon ab, was man unter überraschend versteht. Das ist im Nachhinein vielleicht nicht so überraschend, aber für mich ist es eine fantastische Anwendung, dass die Weil-Vermutungen durch die étale Kohomologie bewiesen werden. Die Kohomologie hat einen großen Einfluss auf Fragen der Zahlentheorie gehabt und wird sicherlich (andere Form der Kohomologien!) weiterhin eine wichtige Rolle spielen.

Dan Isaksen formulierte grundlegende Arithmetik in Bezug auf die Kohomologie:

(vgl. https://pdfs.semanticscholar.org/b44b/eb7ff396be62e548e4a6dc39df0bdf65e593.pdf )

„Tragen“ als Korad zu betrachten, ist etwas, woran die meisten Menschen nicht denken. Zumindest denken die meisten Leute, mit denen ich gesprochen habe und die sich mit Kohomologie auskennen, nicht auf diese Weise über Arithmetik.

1. Dieser Artikel ist eine wunderbare Einführung in die Kohomologie. Es werden mehrere Anwendungen (außerhalb der reinen Mathematik) genannt:

Anwendungen der Kohomologie und der Hodge-Theorie sind reichlich vorhanden, wir finden sie in der numerischen Analyse [3], Peridynamik [30], topologische Datenanalyse [26], computergestützte Topologie [33], Grafik [66], Bildverarbeitung [70], Robotik [ 45], Sensornetzwerke [65], Neurowissenschaften [53] und viele andere Bereiche in Physik und Technik. Aber diese Anwendungen sind nicht in dem Sinne „überraschend“, dass sie alle Physik, Geometrie oder Topologie betreffen – Bereiche, aus denen die Kohomologie und die Hodge-Theorie überhaupt hervorgegangen sind. Was wir etwas unerwartet finden, sind neuere Anwendungen der Kohomologie und der Hodge-Theorie auf die Spieltheorie [15] und das Ranking [43].

2. Es gibt auch einen interessanten Beitrag von T.Tao über die Anwendung der Kohomologie auf dynamische Systeme