Bedeutung von injektiven Objekten in einer Kategorie

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber für mich funktionieren die rein algebraischen Motivationen am besten, um Konstruktionen in der homologischen Algebra zu motivieren.

(Kurze) exakte Folgen sind ohne Zweifel ein wirklich nützliches Werkzeug in der kommutativen Algebra und ich finde es sehr natürlich zu fragen, was mit ihnen passiert, nachdem man kanonische Funktoren wie verwendet hat$-\otimes_R M$oder$\operatorname{Hom}_R(M,-)$oder$\operatorname{Hom}(-,M)$. Alle drei erhalten Nebenprodukte und spalten somit exakte Sequenzen. Man könnte hoffen, dass solche additiven Funktoren im Allgemeinen exakte Sequenzen bewahren, aber wie sich herausstellt, bewahren sie leider nur die Eigenschaft, dass sich aufeinanderfolgende Morphismen zu Null zusammensetzen. (Dies ist der beste Grund, die mir bekannte Kategorie der Kettenkomplexe in Betracht zu ziehen, aber ich denke, das war nicht die Frage).

Alle drei oben genannten Funktoren bewahren keine kurzen exakten Sequenzen. Aber sie sind so wichtig, dass man vielleicht versuchen möchte, Objekte zu finden$M$, für die sie kurze exakte Sequenzen bewahren . Dies sind genau die flachen, projektiven bzw. injektiven Objekte. Wenn man sie im Detail studiert, stellt man fest, dass sie hinsichtlich ihrer Hebeeigenschaften charakterisiert werden können.

Nehmen wir nun an, Sie haben ein Objekt$M_0$für die einer der Funktoren nicht exakt ist. Vielleicht kann man das irgendwie ersetzen$M_0$mit etwas$N_0$wofür ist es genau? Wir können es nicht erwarten$M_0$Und$N_0$isomorph sein (ein zu einem exakten Funktor isomorpher Funktor ist selbst exakt), also erhalten wir ein Objekt$M_1$Messung ihrer Differenz. Dies kann zu einem weiteren nicht exakten Funktor führen, aber wir könnten versuchen, ihn wieder durch einen anderen zu ersetzen$N_1$, was einen exakten Funktor ergibt. Das ist die Idee, ein Objekt aufzulösen, und die Hebeeigenschaften sind wirklich praktisch, um es präzise zu machen: Wir müssen nur genügend flache/projektive/injektive Objekte haben …

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen additiven linksexakten Funktor$F$(auf einer nicht spezifizierten abelschen Kategorie, von der wir annehmen, dass sie für die folgende informelle Argumentation nett genug ist, um einen Sinn zu ergeben – typischerweise Module) und dass Ihnen das von einem Orakel gesagt wird$R^1F$existiert.

Nach der Euphorie stellen Sie mit einiger Bestürzung fest, dass dies Ihnen wenig Nützliches gesagt hat – aufgrund seiner „Definition“ (oder besser gesagt des Fehlens einer solchen, da wir so tun, als würden Sie Injektive noch nicht kennen), sind die Eigenschaften so hoffnungslos selbst- Referent, von dem Sie niemals auch nur eine einzige Instanz berechnen können$R^1F$.

Dann kommt Ihnen eine Idee. „Okay“, sagst du dir, „diese ideale, platonische Version von$R^1F$existiert. Aber ich kann damit nichts anfangen. Also werde ich stattdessen versuchen, meine eigene Version dieses Funktors zu erstellen.“ [die wir anrufen werden$DF$]

Was war der Zweck von$(R^1F)A$Trotzdem? Es war die Cokernel von zu quantifizieren$FB \rightarrow FC$Wo$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ist genau: jeder solche Kokern spritzt hinein$(R^1F)A$.

„Also“, entscheidest du, „der nützliche Teil von$(R^1F)A$, die wir anrufen werden$DF(A)$, könnte das Unterobjekt von sein$(R^1F)A$von all diesen Cokernels generiert [ja, hier gibt es ein Problem. Ja, es ist irrelevant und wir tun so, als würde es nicht existieren]. In einer fairen Welt sollte es genau so sein$(R^1F)A$.“

Also, wann würde$DF(A)$verschwinden? „Wenn“, argumentieren Sie, „jede exakte Sequenz wie oben nach dem Auftragen exakt bleibt$F$. Wenn das überhaupt möglich ist“, fügen Sie hastig hinzu, erschrocken darüber, wie kühn Ihre Annahme war, „weil es nur eine hinreichende Bedingung ist, ist das tatsächliche Kriterium wahrscheinlich viel komplizierter.“

Aber wie könnte man diese unrealistische Eigenschaft überprüfen? „Nun“, sinnieren Sie, „da wir uns bereits im Bereich wilder Spekulationen befinden, vielleicht … wenn sich jede exakte Sequenz wie oben aufspaltet? Ich weiß, ich greife nach Strohhalmen, aber was kann ich sonst vorschlagen?“

Wie Sie vielleicht erraten haben, die Objekte$A$so dass jede genaue$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$Splits sind die injektiven Objekte.

Das wird eine lange Geschichte, aber lassen Sie mich versuchen zu erklären, wie wir unweigerlich zu injektiven Auflösungen und abgeleiteten Funktoren geführt werden, wenn wir Kettenkomplexe bis zur "Homologieinvarianz" (= Quasi-Isomorphie) untersuchen wollen.

Lassen$\mathcal{A}$eine abelsche Kategorie sein. Lassen$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$sei die Kategorie der Kettenkomplexe in$\mathcal{A}$. Ich werde homologische Einstufung verwenden und schreiben$\partial$für den Differentialoperator. Seit$\mathcal{A}$abelsch ist, kann grundlegende homologische Algebra auf Kettenkomplexe in angewendet werden$\mathcal{A}$. Angenommen, wir interessieren uns für die Untersuchung von Kettenkomplexen in$\mathcal{A}$aber wir wollen Kettenkomplexe als gleich betrachten, wenn sie die gleiche Homologie haben. Dies führt uns zur Definition:

Definition. Ein Quasi-Isomorphismus von Kettenkomplexen in$\mathcal{A}$ist ein Morphismus$f : A \to B$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$so dass für jede ganze Zahl$n$, der induzierte Morphismus$\mathrm{H}_n (f) : \mathrm{H}_n (A) \to \mathrm{H}_n (B)$von Homologieobjekten ist ein Isomorphismus in$\mathcal{A}$. Die abgeleitete Kategorie $\mathbf{D} (\mathcal{A})$ist die Kategorie, die durch freies Invertieren der Quasiisomorphismen in erhalten wird$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$.

Das heißt, wir haben einen Funktor$\gamma : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$das sendet Quasi-Isomorphismen ein$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$zu Isomorphismen in$\mathbf{D} (\mathcal{A})$, und jeder Funktor$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$das sendet Quasi-Isomorphismen ein$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$zu Isomorphismen in$\mathcal{C}$Faktoren durch den Funktor$\gamma : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$auf einzigartige Weise. Zum Beispiel die Homologiefunktoren$\textrm{H}_n : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$sicherlich senden Quasi-Isomorphismen an Isomorphismen, also induzieren sie Funktoren$\mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$.

Aber was sind die Morphismen von$\mathbf{D} (\mathcal{A})$? Es stellt sich heraus, dass jeder Morphismus$\gamma P \to \gamma Q$In$\mathbf{D} (\mathcal{A})$ist von der Form$(\gamma j)^{-1} \circ \gamma f$für etwas Morphismus$f : P \to \hat{Q}$und Quasi-Isomorphismus$j : Q \to \hat{Q}$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Außerdem,$\mathbf{D} (\mathcal{A})$hat eine additive Struktur und$\gamma : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$ist additiv. Also für jeden$Q$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$,$P \mapsto \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (\gamma P, \gamma Q)$definiert einen Funktor$\textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$das sendet Quasi-Isomorphismen an Isomorphismen, und$Q \mapsto (P \mapsto \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (\gamma P, \gamma Q))$definiert einen Funktor$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to [\textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op}, \textbf{Ab}]$die Quasi-Isomorphismen an Isomorphismen sendet. Worin besteht seine Beziehung zu$Q \mapsto (P \mapsto \textrm{Hom}_{\textbf{Ch} (\mathcal{A})} (P, Q))$?

Definition. Lassen$P$Und$Q$Kettenkomplexe sein$\mathcal{A}$. Der Kettenkomplex$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)$der abelschen Gruppen ist wie folgt definiert:

$$\begin{align} \textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)_n & = \prod_m \textrm{Hom}_\mathcal{A} (P_m, Q_{m + n}) \\ (\partial (f))_m & = \partial \circ f_{m+1} - (-1)^n f_m \circ \partial \end{align}$$

Beachten Sie, dass die 0-Zyklen von$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)$sind genau die Morphismen$P \to Q$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, während die Homologiegruppe$\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q))$können mit den Kettenhomotopie-Klassen von Morphismen identifiziert werden$P \to Q$. Jedenfalls unterschiedlich$P$, erhalten wir einen Funktor$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$. Leider bewahrt es Quasi-Isomorphismen im Allgemeinen nicht, also$\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q))$unterscheidet sich von$\textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (P, Q)$.

Definition. Ein K-injektiver Kettenkomplex in$\mathcal{A}$ist ein Kettenkomplex$Q$In$\mathcal{A}$so dass$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$bewahrt Quasi-Isomorphismen.

Vorschlag. Lassen$Q$sei ein Kettenkomplex in$\mathcal{A}$. Äquivalent sind:

1. $Q$ist ein K-injektiver Kettenkomplex in$\mathcal{A}$.
2. $\gamma \textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \mathbf{D} (\textbf{Ab})$sendet Quasi-Isomorphismen ein$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$zu Isomorphismen in$\mathbf{D} (\textbf{Ab})$.
3. $\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q)) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$sendet Quasi-Isomorphismen ein$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$zu Isomorphismen in$\textbf{Ab}$.

Nachweisen. Meist direkt. Der Trick, um von Aussage 3 zu Aussage 1 zu gelangen, besteht darin, dies zu beachten

$$\mathrm{H}_n (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)) \cong \mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P [-n], Q))$$ Wo$P [-n]$ist der durch definierte Kettenkomplex$P [-n]_m = P_{m - n}$mit Differential$P [-n]_m \to P [-n]_{m - 1}$gegeben von$(-1)^n$mal das Differential$P_{m - n} \to P_{m - n - 1}$, und dieser Isomorphismus ist natürlich in$P$(Und$Q$zu). ◼

Mit anderen Worten, ein K-injektiver Kettenkomplex ist ein Kettenkomplex, der Quasi-Isomorphismen als Kettenhomotopieäquivalenzen "wahrnimmt". Hier ist ein Beispiel für dieses Phänomen:

Lemma. Lassen$g : Q \to P$sei ein Morphismus in$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Wenn$Q$ist K-injektiv und$g : Q \to P$ein Quasiisomorphismus ist, dann gibt es einen Morphismus$f : P \to Q$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$so dass$f \circ g : Q \to Q$ist kettenhomotop zu$\textrm{id}_Q$.

Nachweisen. Der induzierte Homomorphismus$\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)) \to \mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (Q, Q))$ist ein Isomorphismus. Insbesondere die Homologieklasse von$\textrm{id}_Q$hat ein Urbild, beispielsweise dargestellt durch einen 0-Zyklus$f$In$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)$, also ein Morphismus$P \to Q$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Aber das bedeutet$g \circ f$ist in der gleichen Homologieklasse wie$\textrm{id}_Q$, und die Homologieklassen von 0-Zyklen in$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (Q, Q)$sind die Kettenhomotopieklassen von Morphismen$Q \to Q$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, also sind wir fertig. ◼

Logische Folge. Wenn beides$P$Und$Q$sind K-injektive Kettenkomplexe in$\mathcal{A}$, dann sind die folgenden äquivalent:

1. $f : P \to Q$ist ein Quasi-Isomorphismus in$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$.
2. $f : P \to Q$ist eine Kettenhomotopieäquivalenz in$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. ◼

Warum ist das wichtig? Nun, für einen allgemeinen additiven Funktor$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$, der induzierte Funktor$\textbf{Ch} (F) : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \textbf{Ch} (\mathcal{B})$ist nicht garantiert, dass Quasi-Isomorphismen erhalten bleiben. In der Tat,$\textbf{Ch} (F)$Erhaltung von Quasi-Isomorphismen ist äquivalent zu$F$Beibehaltung (kurzer) exakter Sequenzen. Aber$\textbf{Ch} (F)$behält immer Kettenhomotopieäquivalenzen bei. Wenn es also eine "beste Annäherung" gäbe$\textbf{Ch} (F)$durch einen Funktor, der Quasi-Isomorphismen bewahrt, und jede Kette komplexiert in$\mathcal{A}$quasi-isomorph zu einem K-injektiven ist, dann sollte die "beste Annäherung" durch die Einschränkung von bestimmt werden$\textbf{Ch} (F)$zur vollständigen Unterkategorie der K-injektiven Kettenkomplexe in$\mathcal{A}$.

Definition. Der rechts abgeleitete Funktor eines Funktors$G : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$ist ein Funktor$\mathbf{R} G : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$ausgestattet mit einer natürlichen Verwandlung$\eta : G \Rightarrow (\mathbf{R} G) \gamma$so dass für jeden Funktor$H : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$und jeder Funktor$K : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$und jede natürliche Transformation$\phi : H G \Rightarrow K \gamma$, gibt es eine einzigartige natürliche Transformation$\psi : H \mathbf{R} G \Rightarrow K$so dass$\psi \gamma \bullet \eta = \phi$.

(Dies ist stärker als die ursprüngliche Definition von Verdier.)

Satz. Lassen$G : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$ein Funktor sein, der Kettenhomotopieäquivalenzen einsendet$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$zu Isomorphismen in$\mathcal{C}$. Nehmen Sie für jeden Kettenkomplex an$P$In$\mathcal{A}$wir haben einen Quasi-Isomorphismus$j_P : P \to \hat{P}$In$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$Wo$\hat{P}$ist ein K-injektiver Kettenkomplex in$\mathcal{A}$. Dann der rechts abgeleitete Funktor$\mathbf{R} G : \textbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$besteht und$\eta_Q : G Q \to (\mathbf{R} G) (\gamma Q)$ist ein Isomorphismus für jeden K-injektiven Kettenkomplex$Q$In$\mathcal{A}$.

Nachweisen. Sie können dies direkt tun, aber es ist hilfreich, die Kategorie einzuführen$\mathbf{K} (\mathcal{A})$, welches ist$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$Modulokettenhomotopie. In$\mathbf{K} (\mathcal{A})$, für jeden Morphismus$f : P \to Q$, gibt es einen eindeutigen Morphismus$\hat{f} : \hat{P} \to \hat{Q}$so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$$\require{AMScd} \begin{CD} P @>{j_P}>> \hat{P} \\ @V{f}VV @VV{\hat{f}}V \\ Q @>>{j_Q}> \hat{Q} \end{CD}$$ (Dies trifft nicht immer zu$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$!) So können wir machen$P \mapsto \hat{P}$Und$f \mapsto \hat{f}$in einen Funktor aus$\mathbf{K} (\mathcal{A})$zur vollständigen Unterkategorie$\mathbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$von K-injektiven Kettenkomplexen (Modulo-Kettenhomotopie). Seit$j_P : P \to \hat{P}$ist ein Isomorphismus in$\mathbf{K} (\mathcal{A})$Wenn$P$ist K-injektiv, zeigt dies$\mathbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$als reflektierende Unterkategorie von$\mathbf{K} (\mathcal{A})$. Beachte das$\hat{f} : \hat{P} \to \hat{Q}$ist ein Isomorphismus in$\textbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$Wenn$f : P \to Q$ist ein Quasi-Isomorphismus, also erhalten wir einen Funktor$R : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \textbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$Wo$R (\gamma P) = \hat{P}$Und$R (\gamma f) = \hat{f}$.

Das kann man auch zeigen$\mathbf{K} (\mathcal{A})$ist auch die Kategorie, die durch freies Invertieren der Kettenhomotopieäquivalenzen in erhalten wird$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, So$G : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$Faktoren durch den Quotienten$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{K} (\mathcal{A})$, sag als$\bar{G} : \mathbf{K} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$. Dann können Sie die Einnahme überprüfen$(\mathbf{R} G) = \bar{G} R$Und$\eta_P : G P \to (\mathbf{R} G) (\gamma P)$sein$G j_P : G P \to G \hat{P}$funktioniert. ◼

Hoffentlich überzeugt Sie das Obige davon, dass K-injektive Kettenkomplexe wichtig sind. Aber was sind sie, elementarer ausgedrückt?

Vorschlag. Lassen$Q$sei ein Kettenkomplex in$\mathcal{A}$konzentriert in Grad 0. Äquivalent sind:

1. $Q$ist ein K-injektiver Kettenkomplex in$\mathcal{A}$.
2. $Q_0$ist ein injektives Objekt in$\mathcal{A}$.

Nachweisen. Im Wesentlichen,$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$mit identifizieren kann$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q_0): \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$. (Die Vorzeichen in den Differentialen sind subtil.) Letzteres bewahrt Quasi-Isomorphismen genau dann, wenn$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q_0) : \mathcal{A}^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$ist genau. Aber das ist die Definition des injektiven Objekts, also sind wir fertig. ◼

Die einfachsten Beispiele für K-injektive Kettenkomplexe sind also injektive Objekte. Allgemeiner:

Vorschlag. Lassen$Q$sei ein Kettenkomplex von injektiven Objekten in$\mathcal{A}$. Wenn$Q$ist nach oben begrenzt (d. h. es gibt eine ganze Zahl$N$so dass$Q_n = 0$für alle$n \ge N$), Dann$Q$ist K-injektiv.

(Beweis weggelassen.)

Leider stimmt es nicht, dass K-injektive Kettenkomplexe Kettenkomplexe von Injektiven sind. Zum Beispiel für jedes Objekt$A$In$\mathcal{A}$,

$$\begin{CD} \cdots @>>> 0 @>>> A @>{\textrm{id}}>> A @>>> 0 @>>> \cdots \end{CD}$$ ist ein K-injektiver Kettenkomplex in$\mathcal{A}$, weil die Eigenschaft, K-injektiv zu sein, kettenhomotopieäquivalenzinvariant ist, und$0$ist sicherlich ein K-injektiver Kettenkomplex. Trotzdem hoffe ich, Sie davon zu überzeugen, dass Injektivität ein natürlicher Begriff im Kontext der homologischen Algebra ist und nicht nur etwas, das zufällig gut funktioniert.