Eine Projektarbeit zur algebraischen Topologie (mit kategorischem Flair): Vorschläge für Themen.

Hier sind ein paar Vorschläge

-Spektralsequenzen

Insbesondere die Serre-Spektralsequenz ist ein sehr leistungsfähiges Werkzeug zur Berechnung der Homologie, wenn Sie eine "Fibration" haben.$F \rightarrow E \xrightarrow \pi B$(eine Fibration ist ein sehr allgemeiner Begriff von Faserbündeln) und Sie wissen schon$H_*(B)$Und$H_*(F)$Sie können mit der Serre-Spektralsequenz rechnen$H_*(E)$in günstigen Fällen und wenn Sie es wissen$H_*(B)$Und$H_*(E)$Sie können rückwärts arbeiten, um zu berechnen$H_*(F)$. Ich würde dieses Thema empfehlen, wenn Ihre Exposition sehr kurz sein muss, da Sie nicht so viel Hintergrundwissen benötigen, um Spektralsequenzen zu verstehen. Obwohl sie beim ersten Mal schwer zu verstehen sein können. In Hatcher gibt es einen Abschnitt über Spektralsequenzen.

- Garbenkohomologie

Dies ist sicherlich kategorialer Natur, aber nicht offensichtlich mit Homotopie verbunden, Sie definieren und studieren die Garbenkohomologie einer Garbe$\mathscr F$über ein Leerzeichen$X$. Eine Garbe ist eine Sammlung von Gruppen$\mathscr FU$für alle offen$U \subset X$zusammen mit Karten$\mathscr FU \rightarrow \mathscr F V$wann immer$V$ist eine Teilmenge von$U$. Für lokal kontrahierbare Räume ist die singuläre Homologie von$X$stimmt mit der Garbenkohomologie von überein$X$in Bezug auf eine bestimmte Garbe.

-Theorie der simplizialen Homotopie

Mir persönlich gefällt dieses Thema sehr gut. Sie studieren „simpliziale Mengen“, die eine andere Form von Räumen sind, sie bestehen aus einer Folge von Mengen$X_n$von$n-$Simplizes und Gesichtskarten$X_i \rightarrow X_{i-1}$die dir sagen wie$i-$Simplizes sind verbunden$(i-1)-$vereinfacht. Mit Methoden aus der Theorie der simplizialen Homotopie kann man das beweisen$H^i(X,G) = [X,K(G,n)]$Wenn$X$ist ein$CW$-Komplex. Goerss-Jardines „Simplicial Homotopy Theory“ ist ein sehr gutes Buch zu diesem Thema.

Die gesuchten Beweise finden Sie in Heuts, Meier - Algebraische Topologie II . Außerdem gibt es im selben PDF einen Beweis für die Darstellbarkeit des Kohomologiefunktors, was sehr cool ist.

Ein weiteres Thema, das meiner Meinung nach großartig wäre, ist die Äquivalenz zwischen der Standardmodellkategorie der topologischen Räume und der der simplizialen Mengen, die in Dwyer, Spalinski - Homotopy Theories and Model Categories behandelt wird . Leider weiß ich nicht, ob dieses letztere Thema in einer kurzen Darstellung behandelt werden kann und es erfordern würde, etwas mehr zu lernen als die von Ihnen erwähnten.

Lassen Sie mich wissen, wie die Dinge laufen.

BEARBEITEN: Spektralsequenzen sind eine großartige Idee, wie der andere Benutzer vorgeschlagen hat. Sie werden auch in der ersten von mir erwähnten PDF-Datei behandelt, die viele relevante Beispiele dafür enthält, wie sie verwendet werden können, um (Ko-)Homologiegruppen und Homotopiegruppen eines Raums zu berechnen, der beispielsweise Postnikov-Türme verwendet.