Warum ist (Co)Homologie sinnvoll und auf welche Weise?

Diese Frage ist extrem weit gefasst, und es wurde viel Tinte zum Thema "Warum ist Kohomologie nützlich" vergossen (siehe zum Beispiel hier , hier , hier , hier , hier , hier , hier , oder hier , alle aus dem erste Seite der Google-Ergebnisse für genau diese Suche).

Trotzdem kann ich Ihre Frage beantworten, ob es immer so verwendet werden muss, wie Sie es skizzieren (Erkennen der Nichtexistenz topologischer Merkmale durch Zeigen der Nichtexistenz algebraischer Merkmale): Nein. Es gibt viele andere Verwendungen, die dieser Gliederung nicht folgen.

Eine moderne Ansicht der Kohomologie ist, dass sie die Hindernisse bei der Lösung einer Gleichung bezeugt.

Dies ist am einfachsten in der De Rham Cohomology zu sehen , wo wir eine Differentialgleichung lösen wollen$df = g$. Es stellt sich heraus, dass wir diese Gleichung lokal immer lösen können, aber global möglicherweise nicht. Das "Hindernis" zum Lösen dieser Gleichung ist auch topologisch! Wenn unser Raum einfach verbunden ist , können wir es immer lösen. Tatsächlich können wir immer eine definierte Funktion integrieren$\mathbb{C}$, sagen. Aber es gibt nette Funktionen, die in der punktierten Ebene definiert sind, die keine globale Stammfunktion haben. Das berühmte Beispiel ist$\frac{1}{z}$.

Wir könnten auch daran interessiert sein, die Gleichung zu lösen$f^2 = g$. Auch hier wissen wir, wie man dies lokal macht, aber es gibt möglicherweise keine Möglichkeit, es auf der gesamten komplexen Ebene auf einmal zu lösen. Auch hier stellen wir fest, dass das Hindernis zur Lösung dieser Gleichung kohomologisch ist.

Nehmen wir als eher algebraisches Beispiel an, dass Sie lösen möchten$x^n = y$auf irgendeinem Gebiet$k$. Dann wissen wir, wie man diese Gleichung in einem algebraischen Abschluss löst$\overline{k}$, und wir wissen, dass eine Lösung dieser Gleichung in$\overline{k}$existiert tatsächlich in$k$genau dann, wenn diese Lösung durch die Aktion der Galois-Gruppe festgelegt wird $G$. Wir interessieren uns also für die Kohomologie von$G$.

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Genauer gesagt, wie funktioniert das? Nun, wenn wir eine Zuordnung zwischen einigen Objekten haben (in den obigen Beispielen waren die Zuordnungen$d$,$(-)^2$, Und$(-)^n$bzw.) können wir eine Gleichung genau dann "lösen", wenn wir das Bild der Abbildung verstehen .

Zum Beispiel können wir lösen$df = g$Genau wann$g$ist im Bild von$d$, oder$f^2 = g$wann immer$g$ist im Bild von$(-)^2$, usw.

Die Schlüsselidee besteht darin, durch exakte Sequenzen die Frage, im Bild zu sein (was schwierig ist), in die Frage zu verwandeln, im Kern zu sein (was vergleichsweise einfach ist). Kohomologietheorien (und allgemeiner abgeleitete Funktoren ) geben uns Zugang zu langen exakten Folgen, mit denen wir prüfen können, ob eine Gleichung (global) lösbar ist.

Lassen Sie zum Beispiel$\mathcal{F}^\times$sei die Garbe nicht verschwindender holomorpher Funktionen$\mathbb{C}$unter Multiplikation. Dann haben wir eine kurze exakte Sequenz

$$0 \to \{ \pm 1 \} \to \mathcal{F}^\times \overset{(-)^2}{\to} \mathcal{F}^\times \to 0$$

Nun unsere Funktion$g$ist ein Abschnitt von$\mathcal{F}^\times$, und wir möchten wissen, ob es sich um das Bild eines Abschnitts von handelt$\mathcal{F}^\times$unter$(-)^2$. Das heißt, wenn wir eine finden können$f$mit$f^2 = g$.

Nun, wir wenden Garbenkohomologie auf diese exakte Sequenz an, um eine (lange) exakte Sequenz zu erhalten

$$0 \to H^0(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \overset{(-)^2}{\to} H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \to H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to \cdots$$

Hier$H^0$einer Garbe sind genau die globalen Abschnitte. So$g$lebt in der zweiten Kopie von$H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times)$. Wir wollen wissen, ob es im Image der ersten Kopie liegt, und das können wir tun, indem wir prüfen, ob es im Kernel der Map to liegt$H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \})$. Eines der magischen Dinge an der Kohomologie ist, dass wir in speziellen Fällen oft diese Kohomologiegruppen und die Karten zwischen ihnen berechnen können! Wir können diese Maschinerie also tatsächlich verwenden, um zu prüfen, ob es eine Lösung gibt.

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Ich hoffe das hilft ^_^