Kategorie Theorieverwendung in der algebraischen Topologie

Die Liste der möglichen Themen, die Sie zur Verfügung stellen, variiert in ihren kategorialen Anforderungen von relativ leicht (z. B. Differentialtopologie) bis ziemlich schwer (z. B. Spektren, Modellkategorien). Eine bessere Antwort ist daher möglicherweise möglich, wenn Sie mehr über den Schwerpunkt des Kurses wissen.

Meine persönliche Voreingenommenheit in Bezug auf Kategorientheorie und Topologie ist jedoch, dass Sie meistens nur lernen sollten, was Sie unterwegs brauchen. Die Sprache der Kategorien und der homologischen Algebra wurde größtenteils von Topologen und Geometern erfunden, die ein bestimmtes Bedürfnis im Sinn hatten, und meiner Meinung nach ist es am aufschlussreichsten, eine Abstraktion gleichzeitig mit den zu abstrahierenden Dingen zu lernen. Zum Beispiel würden die Axiome, die eine Modellkategorie definieren, wahrscheinlich wie völliger Unsinn aussehen, wenn Sie versuchen, sie nur anzustarren, aber sie erscheinen natürlich und sinnvoll, wenn Sie die Modellstruktur in der Kategorie von, sagen wir, simplizialen Mengen in der Topologie betrachten.

Wenn Sie also daran denken, einfach ein Buch über Kategorien zu kaufen und einen Monat damit zu verbringen, es zu lesen, denke ich, dass Sie Ihre Zeit auf andere Weise besser verbringen könnten. Es wäre ein bisschen so, als würde man ein Buch über Mengentheorie kaufen, bevor man einen Kurs über echte Analyse belegt – die Sprache der Mengen ist sicherlich wichtig und relevant, aber Sie können sie wahrscheinlich nach und nach lernen. Viele Topologiebücher werden mit einer ähnlichen Einstellung zu Kategorien geschrieben.

Alles in allem, wenn Sie einen besonderen Grund haben, sich darüber Sorgen zu machen (z. B. wenn Sie sich Sorgen um die Person machen, die den Kurs unterrichtet) oder wenn Sie zu den Personen gehören, die gerne Diagramme um ihrer selbst willen herumschieben (einige Leute tun), dann sind hier ein paar Vorschläge. Die Kategorientheorie wird oft in die Topologie aufgenommen, um die gesamte beteiligte homologische Algebra zu organisieren, daher kann es nicht schaden, das aufzufrischen. Vielleicht sind Sie bereits mit der Sprache exakter Sequenzen und Kettenkomplexe in Berührung gekommen; Wenn nicht, wäre das ein guter Anfang (obwohl es ohne Motivation sehr trocken sein wird). Gruppenkohomologie ist ein wichtiges Fach für sich und könnte Ihnen dabei helfen, in einer einigermaßen vertrauten Umgebung etwas mehr von der Sprache zu lernen. Alternative,

Ich stimme der sehr netten Antwort von Paul Siegel zu und möchte nur eine Sache hinzufügen, die für einen Kommentar etwas zu lang ist.

Je nachdem, welche Richtung man einschlägt, kann die algebraische Topologie praktisch zum Synonym für Theorie höherer Kategorien werden. Dies kann auf mehrere Arten geschehen. Erstens hat die Kategorie der topologischen Räume Räume als ihre Objekte, stetige Abbildungen als ihre Morphismen, Homotopien als ihre 2-Morphismen, Homotopien zwischen Homotopien als ihre 3-Morphismen usw. Vielleicht ein wenig zu anmaßend ausgedrückt, ist der Sinn von Modellkategorien Im Wesentlichen um einen allgemeinen Rahmen für das Studium höherer Kategorien zu schaffen, die wie Räume aussehen können (oder auch nicht). Aber auch höhere Kategorien selbst sind sehr ähnlich wie Räume. In dieser Analogie sind Funktoren wie kontinuierliche Karten, natürliche Transformationen sind wie Homotopien usw. (Die Tatsache, dass es diese zwei völlig unterschiedlichen Arten gibt, wie Räume und Kategorien interagieren, hat mich wirklich überrascht, als ich es das erste Mal gesehen habe.)

Wie auch immer, der Punkt ist, dass Sie, wenn Sie sich ernsthaft mit der algebraischen Topologie befassen, sich möglicherweise mit der Kategorientheorie anfreunden und mit der Verwendung lächerlicher und beängstigender Ausdrücke wie "Homotopie linke Kan-Erweiterung" und dergleichen einverstanden sein müssen. Es scheint, dass die Verwendung der Theorie höherer Kategorien in der algebraischen Topologie stark zunimmt, also ist es möglich, dass algebraische Topologen in zwanzig Jahren keine andere Wahl haben werden, als sich in all diesen Dingen auszukennen. (Bin ich sicherlich nicht. Zumindest noch nicht.) Nur eine Warnung.

Die Engpässe scheinen K-Theorie und Modellkategorien zu sein. Ich kann mir keine kategorialen Werkzeuge vorstellen, die Sie für eines der anderen Themen benötigen, die keine richtige Teilmenge der in diesen beiden verwendeten sind. Dann kommt es, wie alles in der Mathematik, darauf an, wie tief man gehen will. Mein Rat wäre, ein Buch zu diesen Themen zu nehmen und einfach zu versuchen, es zu lesen. Sie werden gleich sehen, welche kategoriale Sprache Sie benötigen. Die meisten Bücher über Topologie heben kategoriales Denken ausdrücklich hervor, und viele enthalten sogar einen Anhang zur Kategorientheorie.