Kleine und große Kategorien, wenn die Kategorientheorie als Grundlage der Mathematik genommen wird

Die meisten Grundlagen bestehen aus zwei Komponenten: einer Logik (dh einem formalen Argumentationssystem) und einer Axiomatisierung (dh einer Beschreibung in der formalen Sprache dieses Argumentationssystems) eines Systems grundlegender mathematischer Objekte, in denen die meisten, wenn nicht alle informellen Mathematik kann kodiert werden.

Die gebräuchlichste Bedeutung des Ausdrucks Grundlagenmathematik ist eine Grundlage, deren Logik durch Logik erster Ordnung gegeben ist. In diesem üblichen Sinne ist die Unterscheidung zwischen verschiedenen Grundlagen also eine Unterscheidung darüber, wie das System der grundlegenden mathematischen Objekte aussieht.

Betrachtet man die Mengenlehre als Grundlage der Mathematik, so ist das System der mathematischen Objekte die Klasse der Mengen, die mit einer Zugehörigkeitsrelation ausgestattet sind$\in$Erfüllung bestimmter Axiome (z. B. ZFC).

Betrachtet man die Kategorientheorie als Grundlage der Mathematik, so ist das System der mathematischen Objekte eine Kategorie , dh ein Klassenpaar bestehend aus den Objekten der Kategorie und den Morphismen der Kategorie, ausgestattet mit bestimmten Hilfsfunktionen zwischen den Klassen (Bereich, Kodomäne, Identität, teilweise definierte Zusammensetzung), die bestimmte Axiome erfüllen.

Zwei Punkte sind in Ordnung.

Erstens gibt es Klassen in beiden Stiftungen. Tatsächlich sind Klassen unausweichlich, wenn die Logik erster Ordnung verwendet wird, wobei die Klasse einfach eine Äquivalenzklasse von Formeln (dh Anweisungen) unter logischer Äquivalenz ist. Mit anderen Worten, eine Klasse in der Logik erster Ordnung ist eine Sammlung von Objekten, die durch eine Formel in der Logik erster Ordnung (die Erweiterung der Formel) angegeben sind.

Zweitens erscheint die Unterscheidung zwischen Klassen und Mengen, also zwischen großen und kleinen Kategorien im mengentheoretischen Kontext, inhaltsleer: Klassen und Mengen sind verschiedene Arten von Dingen. Dies liegt daran, dass die richtige Unterscheidung nicht zwischen Klassen und Mengen, sondern zwischen echten Klassen und kleinen Klassen getroffen werden muss. Eine Klasse ist klein , wenn sie die Klasse von Elementen einer Menge ist (formal die Klasse$\phi(x)$ist klein, wenn$\exists x:\phi(y)\leftrightarrow y\in x$ist nachweisbar). Ansonsten ist die Klasse richtig .

Russels Paradoxon zeigt dann, dass es richtige Klassen gibt. Was dies anzeigt, ist eine Einschränkung der Logik erster Ordnung, denn die Mengentheorie soll eine Axiomatisierung dessen sein, wie wir gerne Sammlungen manipulieren, und es stellt sich heraus, dass nicht nur die von der Logik erster Ordnung beschriebenen Sammlungen dies nicht direkt zulassen Operationen, aber selbst wenn wir versuchen würden, die gewünschten Manipulationen von Sammlungen indirekt zu implementieren, wären wir nicht in der Lage, alle Sammlungen auf diese Weise zu manipulieren.

Die beiden vorangegangenen Absätze haben eine Entsprechung in kategorialen Grundlagen. Beachten Sie zunächst, dass die Klasse der Elemente einer Menge$X$ist dasselbe wie die Klasse von Funktionen aus einem Singleton$\{*\}\to X$. Daher können wir eine Klasse als klein umdefinieren , wenn sie (in Bijektion mit) die Klasse der Morphismen zu einem Objekt ist$X$von einem festen Terminalobjekt.

Zweitens ist es nicht allzu schwierig, durch ein Diagonalisierungsargument zu zeigen, dass, wenn eine Kategorie so beschaffen ist, dass für eine Klasse, die alle Morphismen der Kategorie enthält, jedes Objekt der Kategorie eine Potenz dieser Klasse zulässt, dann zwischen zwei beliebigen Objekten existiert höchstens ein Morphismus. Wenn wir also eine gute Kategorientheorie haben wollen, brauchen wir eine Unterscheidung zwischen kleinen Klassen, für die eine Kategorie vollständig sein kann (alle Grenzen durch kleine Diagramme indiziert haben, dh alle kleinen Konstruktionen zulassen), ohne trivial zu sein.

Was schließlich den Begriff der Kleinheit für die Zwecke der Kategorientheorie gut macht, ist das, was manchmal als Aritätsklasse bezeichnet wird, was grob besagt, dass eine Sammlungsfamilie, die durch eine kleine Sammlung indiziert wird, genau dann aus kleinen Sammlungen besteht, wenn ihre disjunkte Vereinigung dies ist eine kleine Sammlung. Wichtige Beispiele für kleine Klassen in diesem Sinne sind die endlichen Klassen und in der Mengenlehre die Klassen von Elementen regulärer Kardinalzahlen.

Die Kategorientheorie möchte die Mengentheorie enthalten ( Menge ist eine wichtige Kategorie! Außerdem sind Mengen im Grunde diskrete Kategorien), daher zwingen Sie alle üblichen Gründe, Größenfragen zu beachten. Sie können sogar auftauchen, ohne an Sets zu appellieren; zB kann es nicht eine Kategorie aller Kategorien geben.

Eine eher kategorientheoretische Ausprägung von Größenproblemen ist:

• Eine kleine Kategorie ist ein Kategorieobjekt in Set
• Eine lokal kleine Kategorie ist eine mengenangereicherte Kategorie

Selbst wenn es also keine Größenprobleme gäbe, wäre Kleinheit immer noch ein wichtiges Thema in der Kategorientheorie, selbst wenn es nur ein Spezialfall der angereicherten Kategorientheorie und der internen Kategorientheorie wäre.