Ist das Axiom der Universen „harmlos“?

Wenn Sie mit dem Studium der Kategorientheorie beginnen, sehen Sie normalerweise die übliche Definition: Eine Kategorie besteht aus einer Klasse Ö B ( C ) von Gegenständen usw.

Wenn Sie ZFC als Ihr Axiomensystem betrachten, dann ist eine "Klasse" (eine richtige) etwas, das Sie formal nicht verwenden können, da alles im Diskursuniversum eine Menge ist.

Einige Leute (MacLane? Grothendieck?) waren darüber verständlicherweise besorgt. Um die Geschichte zu reduzieren, die ich nicht genau beschreiben kann, gibt es die Definition des Grothendieck-Universums .

Wenn wir ZFC das folgende Axiom von Universen hinzufügen , können wir die Verwendung von Klassen umgehen:

Axiom der Universen (U): Jede Menge ist in einem Universum enthalten.

Nun kann bewiesen werden, dass das Axiom der Universen dem entspricht

Unzugängliches Kardinalaxiom: Für jeden Kardinal μ gibt es einen unzugänglichen Kardinal κ, der strikt größer ist.

die sich als unabhängig von ZFC erwiesen hat. Daher können wir in ZFC+U arbeiten und Kategorientheorie mit dem Anliegen betreiben, mit richtigen Klassen, die in Ruhe gesetzt sind, umzugehen.

Dies scheint heute ein Standardansatz für eine gute Grundlage der Kategorientheorie zu sein.

Meine Frage lautet, um es informell zu formulieren: Wie unschuldig ist das Axiom der Universen ?

Was ich damit meine ist: Woher wissen wir, dass es keine unerwarteten Konsequenzen hat, die den Rest der Mathematik verändern könnten? Die Motivation war, eine gute Grundlage für die Kategorientheorie zu schaffen, aber es wäre unvernünftig, eine großartige Grundlage zu schaffen, die den Rest der gewöhnlichen Mathematik verändert.

Um ein Beispiel zu geben, haben wir nun, dass das Hinzufügen des Auswahlaxioms zu ZF einige überraschende Konsequenzen hat. Zum Beispiel das Banach-Tarski-Paradoxon. Woher wissen wir, dass ZFC+U nicht ebenso verblüffende Folgen hat? Warum begnügen wir uns damit, dieses Axiom zu unserer Grundlage der Mathematik hinzuzufügen? Ist das nicht eine ziemlich heikle Frage? Wie viel wissen wir darüber, wie gut der Universumsansatz ist? (Ich würde sagen, eine Grundlage für die Kategorientheorie ist besser als eine andere, wenn sie das Problem der „richtigen Klassen“ löst und weniger Einfluss auf den Rest der Mathematik hat.)

Nur um Ihren letzten Satz zu kommentieren, das heißt, "ZFC + Eine richtige Klasse von unzugänglichen Kardinälen" reicht aus, um alle Probleme der "eigentlichen Klasse" zu lösen. Dies ist jedoch nicht nur eine "einzige unzugängliche" Annahme, und es ist ziemlich schwerer als die Annahme der Existenz von ein oder zwei unzugänglichen Kardinälen (jedoch nicht einmal annähernd so etwas wie Mahlo-Kardinäle). Es löst nicht alle Probleme mit richtigen Klassen, insbesondere nicht in der Mengenlehre. Das Russell-Paradoxon sagt uns nicht, dass wir durch die Mengenlehre begrenzt sind, sondern dass wir begrenzt sind. Sie können Ihr System niemals aus sich heraus beschreiben.
Wenn Sie nur eine Unterrichtsstufe benötigen, bietet NBG möglicherweise eine zufriedenstellende Lösung. Mac Lane geht in Categories for the Working Mathematician nur von der Existenz eines Universums aus . Aber die Wahrheit ist, dass der arbeitende Kategorist lieber mindestens eine abzählbare Unendlichkeit von Ebenen haben möchte, sodass wir von Dingen wie der Kategorie aller Funktoren sprechen können CRing → Satz (relevant zum Beispiel in Grothendiecks Funktor-of-Points-Ansatz für die algebraische Geometrie).
Wenn Sie Französisch lesen, möchten Sie vielleicht den Beitrag von Bourbaki zu SGA 4.1 zu Rate ziehen.
Verwandte: Dieser MO-Thread .
Bruno, mir ist nicht 100% klar, was Sie mit dieser Frage zu verstehen versuchen. Die moderne Mathematik ist viel offener für paradoxe Ergebnisse (z. B. Banach-Tarski Banach-Tarski) und die von Universen abhängigen Teile (z. B. milde große Kardinäle) sind nicht zu schrecklich, um sie zu ertragen. Es scheint, dass viele Menschen große Kardinäle und sogar stärkere Axiome als Universen akzeptiert haben.
@AsafKaragila: Ich stimme zu, dass die Frage, wie gesagt, etwas weit gefasst sein kann. Natürlich werden wir niemals alle Konsequenzen des Universumsaxioms aufzählen können. Einige von ihnen müssen jedoch sicherlich bekannt sein. Nun, ich weiß, dass die Konsequenzen zwangsläufig mit Fragen der Kardinalität zu tun haben werden, und wahrscheinlich sind im Bereich der Mengenlehre eine Fülle von Konsequenzen bekannt; Ich frage, was die Konsequenzen außerhalb der Mengenlehre sind, die sich mit großen Kardinalaxiomen befasst, und was die Konsequenzen im Rest der Mathematik sind. Ehrgeiziger, vielleicht kann etwas gesagt werden (fährt fort) ...
... metamathematisch und heuristisch über die Grenzen der Konsequenzen dieses Axioms. Ich weiß, dass das alles ein bisschen zu verschwommen sein kann; Es tut mir leid, dass ich nicht genauer sein kann, aber mir fehlt eine tiefere mengentheoretische Bildung, um die Frage genauer formulieren zu können. Abschließend ist alles zu sagen, was sich auf die im OP und in diesen Kommentaren geäußerten Bedenken bezieht, sicherlich willkommen :)
@Asaf: Das Kopfgeld läuft bald ab. Vielleicht haben Sie etwas Relevantes zu dieser Frage zu sagen?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich mir vieler nicht mengentheoretischer Probleme oder sogar mehr als einer Handvoll mengentheoretischer Implikationen bewusst bin. Ich würde meine Antwort schreiben, aber mein vorheriger Kommentar fasste es ziemlich zusammen.

Antworten (2)

Was ich damit meine ist: Woher wissen wir, dass es keine unerwarteten Konsequenzen hat, die den Rest der Mathematik verändern könnten?

Ich werde ein paar Bemerkungen machen und auch auf diese MathOverflow-Diskussionen verlinken:

(1) In der Mengenlehre war das Studium großer Kardinäle (viel „größer“ als nur unzugänglich) sehr fruchtbar. Die Existenz vieler dieser großen Kardinäle erfordert die Existenz von Unzugänglichen. Mengentheoretiker interessieren sich also für diese großen Kardinäle wegen ihrer nützlichen (vielleicht "verblüffenden") Konsequenzen. Wenn es keine interessanten Konsequenzen gäbe, würden Mengentheoretiker andere Dinge finden, die sie sich ansehen könnten.

(2) Aus dem skeptischen POV wissen wir nicht, was die Folgen sein könnten. Es könnte sein, dass ZFC konsistent ist, aber ZFC plus das Universumsaxiom ist inkonsistent. Viele Menschen haben das Gefühl, dass sie eine gewisse Intuition haben, dass die Existenz von Universen nicht im Widerspruch zu ZFC steht. Dieser Glaube kommt oft daher, dass man darüber nachdenkt, wie die kumulative Hierarchie funktioniert. Andererseits gibt es ein Manuskript von Kiselev ( Link ), in dem er behauptet zu beweisen, dass die Existenz auch nur eines unzugänglichen Kardinals nicht mit ZFC vereinbar ist.

Wir wissen, dass ZFC nicht beweisen kann, dass es auch nur einen unzugänglichen Kardinal gibt. Und wir wissen, dass wir in ZFC nicht beweisen können, dass die Existenz eines Unzugänglichen konsistent ist, wegen Einschränkungen, die sich aus den Unvollständigkeitstheoremen ergeben. Daher muss jedes Argument, dass unzugängliche Elemente konsistent sind, Methoden verwenden, die in ZFC nicht formalisiert werden können.

(3) Vorübergehend eine platonistische Perspektive einnehmen, zumindest um der Argumentation willen. Von dieser Position aus ist jedes "Axiom" entweder wahr oder falsch, aber es kann die Eigenschaften mathematischer Objekte nicht ändern, die getrennt von den Axiomen existieren, die zu ihrer Untersuchung verwendet werden. Natürlich können wir falsche Aussagen aus falschen Axiomen beweisen, aber wir können die Objekte selbst nicht wirklich ändern.

(4) Lehnen Sie jetzt den Platonismus vorübergehend ab und denken Sie nur an formale Beweise. Dann ändert es nichts an meiner Vorstellung von Mathematik, wenn jemand anderes ein Axiom übernimmt, das ich nicht akzeptiere. Ich werde einfach alle Theoreme, die dieses Axiom verwenden, mit einem * versehen und sie bestenfalls als zweifelhaft einstufen. Ich könnte sogar einige der Theoreme ohne das neue Axiom tadeln, nur damit ich weiß, dass sie in Ordnung sind. Auf diese Weise würde meine persönliche Vorstellung von Mathematik auch dadurch verändert, dass andere Leute andere Axiome verwenden.

Ich denke, dass (3) und (4) anfangen aufzuzeigen, wie philosophische Fragen ins Spiel kommen, wenn wir nach den Auswirkungen verschiedener Axiome auf die „Mathematik“ fragen.

(Diese Antwort ist als Community-Wiki gekennzeichnet, da ich bereits eine andere Antwort auf diese Frage gegeben habe. Bitte fügen Sie der obigen Linkliste weitere Links hinzu.)

Ich überlasse es einem anderen Benutzer, die genaue Stärke der Universumsaxiome in der Mengenlehre zu diskutieren. Dazu gibt es viel zu sagen.

Worauf ich hinweisen möchte, ist, dass für die tatsächlichen Anwendungen der kategorientheoretischen Methoden auf die Zahlentheorie, wie etwa Fermats letzter Satz (FLT), die Verwendung von Universen eliminiert werden kann. Zum Beispiel veröffentlichte Colin McLarty 2010 einen Artikel ( ref , preprint ) im Bulletin of Symbolic Logic , in dem er sagt:

„Dieses Papier soll erklären, wie und warum drei Tatsachen koexistieren:

  1. Universen organisieren einen Kontext für die eher expliziten arithmetischen Berechnungen, die FLT oder andere Zahlentheorien beweisen.
  2. Universen können durch bekannte Geräte zugunsten von ZFC eliminiert werden, obwohl dies eigentlich nie getan wird (und dies bleibt viel stärker als PA).
  3. Die großen Beweise in der kohomologischen Zahlentheorie wie Wiles [1995] oder Deligne [1974] oder Faltings [1983] verwenden tatsächlich Universen.“

Die zentrale Behauptung, die ich hervorheben möchte, ist (2): Viele Menschen glauben, dass Methoden, die Universen verwenden, für konkrete Ergebnisse wie das Wiles-Theorem nicht erforderlich sind, und dass die Beweise im Prinzip ohne sie neu geschrieben werden können. Ich bin nicht in der Lage, die Behauptung zu beurteilen, aber sie scheint von ziemlich vielen Leuten akzeptiert zu werden, die sich mit der Angelegenheit befasst haben. Es gibt eine offene Vermutung, dass Fermats letzter Satz in der Peano-Arithmetik und sogar in viel schwächeren Theorien bewiesen werden kann, und derzeit haben wir keinen Grund zu der Annahme, dass FLT nicht in der Peano-Arithmetik bewiesen werden kann.

Dies macht die grundlegende Frage der Universen interessanter: Sie werden natürlich verwendet, aber arbeitende Zahlentheoretiker wissen, wie sie sie vermeiden können, wenn dies gewünscht wird, was eine Art Spannung hinterlässt. Dies ist das Thema, auf das McLarty in seiner Arbeit eingeht.

McLartys jüngste Fortschrittsankündigung zeigt, dass er seit seiner Arbeit von 2010 noch mehr Fortschritte gemacht hat.

Zu 3. Ich bin überhaupt kein Experte, aber ich erinnere mich genau an diesen MO-Thread .
Diese Antwort ist als Kommentar sehr interessant: Da das Kopfgeld zu Ende geht, werde ich es Ihnen zusprechen. Ich denke nicht, dass es die Frage wirklich beantwortet, wie Sie im ersten Absatz selbst anmerken, daher werde ich diese Frage trotzdem ohne Häkchen lassen.
@Bruno Stonek: Danke! Ich werde mein Bestes tun, um im Gegenzug eine Antwort auf die Frage separat zu schreiben. Ich erwartete, jemand anderes würde einen schreiben, also zögerte ich. Aber ich kann zumindest etwas sagen. Ich werde es morgen schreiben.
@CarlMummert: Großartig! Ich freue mich darauf :)
Ist das Axiom der Universen „harmlos“?
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