Gibt es eine Mengenlehre, in der die folgende nicht fundierte Definition der Ordnungszahlen möglich ist?

Ich habe mich gefragt, ob es eine nicht fundierte Mengenlehre gibt, so dass die folgende Implementierung der Ordnungszahlen möglich ist.

  • 0 = ∅
  • 1 = { 1 }
  • 2 = { 1 , 2 }
  • ...
  • ω = { 1 , 2 , 3 , ⋯ }
  • ω + 1 = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , ω + 1 }
  • ω + 2 = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , ω + 1 , ω + 2 }

Also das kleinste Element einer nicht leeren Ordinalzahl a Ist 1 , und das größte Element ist immer a . Die Grenzordnungszahlen, die genau die Ordnungszahlen sind, die kein größtes Element haben, sind auch genau diejenigen, die weder Elemente ihrer selbst noch irgendeiner anderen Ordnungszahl sind.

Gibt es eine solche Mengenlehre?

Gibt es einen anderen Grund dafür als die Ästhetik? Ich denke, Sie könnten dies wahrscheinlich mit dem Anti-Foundation-Axiom tun. In NF, einer der Mengentheorien ohne Fundierung, werden Ordnungszahlen direkt als Isomorphismusklassen wohlgeordneter Mengen kodiert.
Ja, es gibt einen Grund: Es verhindert "Lawinen". Folgendes berücksichtigen. "0,1,2,3... okay das sind 4 Früchte." Die bisher genannten Ordnungszahlen bilden eine neue Ordnungszahl, nämlich 5. Okay, aber jetzt bilden die bisher genannten Ordnungszahlen eine neue Ordnungszahl, nämlich 6. usw. Aber bedenken Sie die Alternative. "1,2,3,4... okay das sind 4 Früchte." Die bisher erwähnten Ordnungszahlen bilden eine neue Ordnungszahl, nämlich ... ach, es ist nur 4.
Bei endlichen Ordnungszahlen / Kardinälen haben Sie möglicherweise dieses Problem. Aber es gibt nur sehr wenige endliche Ordnungszahlen.
Gibt es einen Grund, warum Sie nicht wollen 0 Und ω sich enthalten?
Ja. Wenn sie Elemente ihrer selbst wären, wären sie ihr eigenes größtes Element.

Antworten (1)

Lassen Sie mich den Anwalt des Teufels spielen: Ich akzeptiere Ihre Definition, und dann behaupte ich, dass Sie sie haben 1 = 2 . Sie können einwenden, dass diese beiden Sätze nämlich { 1 } Und { 1 , 2 } sind offensichtlich unterschiedlich, aber ich antworte, dass sie überhaupt nicht unterschiedlich sind, sie haben genau die gleichen Mitglieder, weil das scheinbar zusätzliche Mitglied 2 In { 1 , 2 } ist nur eine Wiederholung des anderen Mitglieds, 1 . Können Sie mich anhand Ihrer Definitionen davon überzeugen? 1 ≠ 2 ?

Ich wäre nicht überrascht, wenn zumindest einige Versionen des Anti-Foundation-Axioms es Ihnen tatsächlich erlauben würden, dies zu beweisen 1 = 2 unter deinen Definitionen.

Die Schwierigkeit betrifft natürlich nicht nur 1 Und 2 , aber alle Ordnungszahlen, die Sie erwähnt haben, außer 0 .

Das beliebteste Axiom gegen die Stiftung (das von Aczel) impliziert dies tatsächlich 1 = 2 unter diesen Definitionen.
Ich machte mir Sorgen wegen dieser Art von Dingen. Die Behauptung, dass sich jede Ordinalzahl von ihrem Nachfolger unterscheidet, sollte jedoch ausreichen.
Was ist also der richtige Weg, um die von Neumann-Ordnungszahlen herauszusuchen, wenn Sie das Regelmäßigkeitsaxiom nicht kennen? Eine Menge ist genau dann eine Ordinalzahl, wenn sie fundiert und transitiv ist und jedes Element transitiv ist?
Gibt es eine Mengenlehre, in der die folgende nicht fundierte Definition der Ordnungszahlen möglich ist?
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