Ich versuche, die transfinite Rekursion zu verstehen. Bisher bin ich auf zwei verschiedene Definitionen dieses Theorems gestoßen (nicht ganz sicher, ob sie dasselbe Prinzip der transfiniten Rekursion beschreiben). Der erste:
Wenn ich eine Karte habe (für etwas Ordnungszahl - hier " " bezeichnet den Satz von Karten aus Zu , für alle ), dann gibt es eine eindeutige Funktion so dass für alle , .
Und der zweite:
Sei G eine Operation (im Kontext der Mengenlehre). Bedeutet dies für einige feste Parameter , falls es welche gibt, ). Dann gibt es eine eindeutige Operation (diesmal hieß sie Operationsformel oder so ähnlich) damit für alle .
Wie interagieren diese beiden Theoreme miteinander? Etwas einfache zusätzliche Intuition über den Unterschied zwischen Rekursion und transfiniter Rekursion wird keine Zeitverschwendung sein.
Der Professor sagte auch, dass das transfinite Rekursionsprinzip ein Meta-Theorem-Schema ist. Was bedeutet es logisch?
Der zweite impliziert den ersten, aber in der „Alltagsmathematik“ berufen wir uns selten auf den zweiten Fall.
Der erste Fall besagt lediglich, dass Sie, wenn Sie eine wohlgeordnete Menge und eine Funktion haben, die Ihnen sagt, "wie Sie eine Funktion erweitern", die auf einem Anfangssegment der Wohlordnung definiert ist, die Funktion durch die gesamte Ordnung erweitern können -Bestellung.
Nämlich wenn ist eine Ordnungszahl, und ist eine Regel, die Ihnen sagt, ob Sie zufällig eine Funktion definiert haben , dann können Sie diese Funktion erweitern auf , dann gibt es eine eindeutige Funktion, die auf definiert ist so dass jeder Folgeschritt mit definiert wird "wieder und wieder und wieder".
Der zweite Satz spricht von der gleichen Sache, aber mit der richtigen Klasse aller Ordinalzahlen. Dies impliziert die erste Instanz, da wir immer einen festen Wert treffen und dann für den Rest des "Laufs" der Funktion denselben Wert zurückgeben können. Der Umgang mit richtigen Klassen ist jedoch immer heikel, da es sich nicht um Sets handelt. Aus diesem Grund sagte Ihr Professor, dies sei eher ein Meta-Theorem als ein Theorem.
Da Klassen keine Objekte des Universums der Mengenlehre sind, sondern Objekte des Meta-Universums der Meta-Sprache, folgt daraus, dass jede Klassenfunktion (nämlich eine Funktion, deren Domäne eine echte Klasse ist) kein Objekt in der Universum, sondern ein Objekt des Meta-Universums. Formal ist die transfinite Rekursion also ein Schema, das besagt, dass wann immer eine Funktion ist, die diese und jene Klasse definiert, dann können wir eine Formel schreiben so dass definiert eine Klassenfunktion für die Ordinalzahlen wo wird verwendet, um die nachfolgenden Schritte schrittweise zu durchlaufen.
Shinrin-Yoku