Frage zur Verwendung einer parametrischen Version des transfiniten Rekursionssatzes in Introduction to Set Theory 3rd ed. von Hrbacek und Jech

Meine Frage betrifft einen Beweis auf Seite 118 im Text Introduction to Set Theory 3rd ed. von Hrbacek und Jech.

Die Autoren auf Seite 117 beweisen eine Version des transfiniten Rekursionssatzes (Satz 4.11), der besagt, dass gegebene unäre Operationen gegeben sind$G_1, G_2$, Und$G_3$es gibt eine Operation$F$so dass

$$\begin{align*} &F(0)=G_1(0),\\ &F(\alpha+1)=G_2(F(\alpha))\quad\text{for all ordinals $\alpha$, and}\\ &F(\alpha)=G_3(F_\restriction \alpha)\quad\text{for all limit ordinals $\alpha$}.\\ \end{align*}$$

Dann überlassen sie es dem Leser, eine parametrische Version von Theorem 4.11 zu entwickeln. Ich habe dies wie folgt ermittelt: Gegebene binäre Operationen$G_1, G_2$, Und$G_3$es gibt eine Operation$F$so dass für alle z

$$\begin{align*} &F(z,0)=G_1(z,0),\\ &F(z,\alpha+1)=G_2(z,F_z(\alpha))\quad\text{for all ordinals $\alpha$, and}\\ &F(z,\alpha)=G_3(z,F_z\restriction \alpha)\quad\text{for all limit ordinals $\alpha$}.\\ \end{align*}$$

Als nächstes verwenden sie die parametrische Version von Theorem 4.11 im Beweis von Theorem 3.6 auf Seite 118. Theorem 3.6 besagt:

$$\begin{align*} &\text{Let G be an operation.}\\ &\text{For any set $a$ there is a unique infinite sequence $\langle a_n|n\in N \rangle$ such that} \\ &(a) a_0=a\\ &(b) a_{n+1}=G(a_n,n)\quad\text{for all $n\in N$}\\ \end{align*}$$

Der im Text angegebene Beweis für Satz 3.6 lautet wie folgt:

$$\begin{align*} &\text{Let G be an operation. We want to find, for every set $a$, a sequence}\\ &\text{$\langle a_n|n\in N \rangle$ such that $a_0=a$ and $a_{n+1}=G(a_n,n)$ for all $n\in N.$}\\ &\text{By the parametric version of the Transfinite Recursion Theorem 4.11,}\\ &\text{there is an operation $F$ such that $F(0)=a$ and $F(n+1)=G(F(n),n)$ for all $n\in N.$}\\ &\text{Now we apply the Axiom of Replacement: There exists a sequence $\langle a_n|n\in N \rangle$}\\ &\text{that is equal to $F\restriction \omega$ amd the Theorem follows.}\\ \end{align*}$$

Jetzt verstehe ich alles im Beweis von Theorem 3.6, außer wie die parametrische Version von Theorem 4.11 verwendet wird, um die Operation abzuleiten$F$im Beweis. Kann mir bitte jemand beim Ausfüllen der Lücken helfen?