Wie leiten die Autoren diese schwächere Version der transfiniten Rekursion ab?

Meine Frage bezieht sich auf einen Beweis von Theorem 4.12, der in dem Text Introduction to Set Theory von Hrbacek und Jech gegeben wird.

Die Autoren beweisen zunächst die Sätze 4.9 , 4.10 und 4.11 . Als Referenz zitiere ich diese Theoreme unten.

Lassen$V$sei die Klasse aller Mengen,$\operatorname{Ord}$sei die Klasse aller Ordinalzahlen, und$G:V\to V$eine Klassenfunktion sein.

Satz 4.9: Transfiniter Rekursionssatz

Es existiert eine Klassenfunktion$F:\operatorname{Ord}\to V$so dass$F(\alpha)=G(F\restriction \alpha)$für alle$\alpha\in\operatorname{Ord}$.

Satz 4.10: Transfiniter Rekursionssatz, parametrische Version

Es existiert eine Klassenfunktion$F:\operatorname{Ord}\to V$so dass$F(z,\alpha)=G(z,F_z\restriction \alpha)$für alle$\alpha\in\operatorname{Ord}$Und$z\in V$Wo$F_z\restriction \alpha:=\{\langle\beta,F(z,\beta)\rangle\mid\beta<\alpha\}$.

Satz 4.11:

Lassen$G_1,G_2,G_3$Klassenfunktionen von sein$V$Zu$V$. Es existiert eine Klassenfunktion$F:\operatorname{Ord}\to V$so dass

(1)$F(0)=G_1(\emptyset)$

(2)$F(\alpha+1)=G_2(F(\alpha))$für alle$\alpha\in\operatorname{Ord}$

(3)$F(\alpha)=G_3(F\restriction\alpha)$für alle Grenzen$\alpha\neq 0$

Dann sagen sie: Eine parametrische Version von Theorem 4.11 ist einfach und wir überlassen es dem Leser . Aus meinem Versuch ist die parametrische Version von Theorem 4.11 wie folgt (Ehrlich gesagt bin ich mir nicht sicher, ob mein Versuch richtig ist oder nicht)

Lassen$G_1,G_2,G_3$Klassenfunktionen von sein$V$Zu$V$. Es existiert eine Klassenfunktion$F$so dass, für alle$z\in V$

$F(z,0)=G_1(z,\emptyset)$

$F(z,\alpha+1)=G_2(z,F_z(\alpha))$für alle$\alpha\in\operatorname{Ord}$

$F(z,\alpha)=G_3(z,F_z\restriction\alpha)$für alle Grenzen$\alpha\neq 0$

Als nächstes verwenden sie diese parametrische Version von Theorem 4.11 im Beweis von Theorem 4.12 .

Satz 4.12:

Für jeden Satz$a$, gibt es eine eindeutige unendliche Folge$(f_n\mid n\in \Bbb N)$so dass

(1)$f_0=a$

(2)$f_{n+1}=G(f_n,n)$für alle$n\in \Bbb N$

Der im Text angegebene Beweis für Satz 4.12 lautet wie folgt:

Lassen$G:V\to V$eine Klassenfunktion sein. Wir wollen finden, für jeden Satz$a$, eine Sequenz$(f_n\mid n\in \Bbb N)$so dass$f_0=a$Und$f_{n+1}=G(f_n,n)$für alle$n\in \Bbb N$. Nach der parametrischen Version des Transfiniten Rekursionssatzes 4.11 gibt es eine Klassenfunktion$F$so dass$F(0)=a$Und$F(n+1)=G(F(n),n)$für alle$n\in \Bbb N$. Nun wenden wir das Ersetzungsaxiom an: Es existiert eine Folge$(f_n\mid n\in \Bbb N)$das ist gleich$F\restriction \omega$und der Satz folgt.

Ich verstehe nicht, wie die parametrische Version von Theorem 4.11 verwendet wird, um die Klassenfunktion abzuleiten$F$im Beweis von Satz 4.12 . Kann mir bitte jemand beim Ausfüllen der Lücken helfen?