Injektion aus der Menge der abzählbaren Ordnungszahlen ΩΩ\Omega in RR\mathbb{R}

[ Bearbeiten: Ich habe Ihre Definition falsch verstanden und als Beschreibung einer injektiven Funktion gelesen. Die "Lösung" unten erklärt, warum dies nicht funktionieren kann.]

Was Sie vorschlagen, ist interessant. Die Frage ist, ob wir jeder Grenzordnungszahl eine kofinale Folge so zuordnen können, dass die$f$Sie beschreiben, dass es injektiv ist. Ich weiß nicht auf Anhieb, ob das möglich ist, aber es ist ein nettes Problem (es ist noch nicht klar, ob$f$wohldefiniert ist, dh ob man es so anordnen kann, dass alle relevanten Reihen tatsächlich konvergieren). Sorry für die ursprüngliche Verwirrung.

Das Argument, das Sie vorbringen, kann nicht funktionieren. Dies liegt daran, dass Sie in Ihrer Konstruktion nicht nur versuchen, eine Injektion zu definieren, sondern tatsächlich eine streng steigende Funktion.

Aber falls$f:\Omega\to{\mathbb R}$steigt, dann für jeden$\alpha$In der Zwischenzeit wird es rational sein$f(\alpha)$Und$f(\alpha+1)$, und verschiedene Werte von$\alpha$wird unterschiedlichen Begründungen entsprechen. Dies ist natürlich unmöglich, da$\Omega$ist aber unzählbar${\mathbb Q}$ist zählbar.

Tatsächlich können Sie keine Injektion definieren$f$durch irgendein explizites Verfahren. Dies liegt daran, dass es mit den Axiomen der Mengentheorie ohne Wahl vereinbar ist, dass keine solchen Injektionen existieren, und es mit der Mengentheorie plus Wahl vereinbar ist, dass keine solche Injektion definierbar ist.

Eine Möglichkeit zu zeigen, dass es solche Injektionen gibt, besteht darin, das Lemma von Zorn auf die Sammlung von Injektionen zu verwenden$f$dessen Definitionsbereich eine Ordinalzahl ist. Dies ist eine Teilbestellung:$f\le g$Wenn$g$erweitert$f$als Funktion, dh, iff$g$hat eine größere Domäne als$f$, und die Beschränkung von$g$zur Domäne von$f$ist nur$f$. Offensichtlich muss ein maximales Element in diesem Poset einen überabzählbaren Definitionsbereich haben, da die reellen Zahlen überabzählbar sind.

Beachten Sie zunächst, dass es ohne das Axiom der Wahl durchaus möglich ist, dass es keine Injektion wie diese gibt. Dies ist ein starker Hinweis darauf, dass eine ziemlich explizite Definition unmöglich ist.

Die Annahme, dass das Axiom der Wahl zeigt, dass eine solche Injektion existiert, ist unmittelbar da$2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$. Wenn wir jedoch etwas expliziter sein möchten, können wir Folgendes tun:

Lassen$Q:\mathbb Q\to\omega$eine Aufzählung der rationalen sein. Für jeden$\beta<\omega_1$lassen$f_\beta:\beta\to\mathbb Q$eine Ordnungseinbettung sein, die auch ohne das Wahlaxiom existiert$\mathbb Q$bettet jede zählbare lineare Ordnung ein.

Nun lass$F:\omega_1\to 2^\omega$definiert werden als$F(\beta)=Rng(Q\circ f_\beta)$, das ist eine Teilmenge von$\omega$die Auftragstyp hat$\beta$in der Aufzählung$Q$.

Wir verwenden das Axiom der Wahl, um zu wählen$f_\beta$'s für die Ordnungszahlen unten$\omega_1$. Wenn zum Beispiel die reellen Zahlen abzählbare Vereinigungen von abzählbaren Mengen sind, dann gibt es keine solche Folge von Bijektionen.

Um eine etwas explizitere Einbettung jeder Ordnungszahl in zu sehen$\mathbb Q$Man kann einen Aronszajn-Baum betrachten und Ihre Einbettung aus den relevanten Zweigen auswählen. Mit diesem können Sie den gleichen Trick verwenden, um eine Teilmenge davon zu generieren$\omega$wie vorher.