Definition der ordinalen Addition durch transfinite Induktion (ZFC)

Ich arbeite hier in Z F C . Transfinite Induktion ist die folgende Beobachtung:

Lassen P ( X ) eine Eigenschaft sein. Wenn

( 1 )   P ( 0 ) ist wahr

( 2 ) für jede Ordnungszahl a : P ( a ) ist wahr ⇒ P ( a + 1 ) ist wahr

( 3 ) für jede Grenzordnungszahl a : P ( β ) gilt für alle β < a ⇒ P ( a ) ist wahr

Dann P ( a ) gilt für alle Ordnungszahlen a

Dann ist eine Definition der ordinalen Addition die folgende:

Lassen a eine Ordnungszahl sein.

( 1 )   a + 0 = a

( 2 )   ∀ Ordnungszahlen β : a + ( β + 1 ) = ( a + β ) + 1

( 3 ) ∀ Ordnungszahlen begrenzen β : a + β = S u P { a + γ   |   γ < β }

Wie können wir tatsächlich sicherstellen, dass die vorhergehende Definition der ordinalen Addition tatsächlich ... eine Definition ist? Dass es Sinn macht? Wahrscheinlich bedeutet es streng genommen, dass wir das zeigen müssen a 1 = a 2 , β 1 = β 2 ⇒ a 1 + β 1 = a 2 + β 2 . Was wahrscheinlich durch transfinite Induktion versucht werden kann. Allerdings müssen wir auch Sinn machen { a + γ   | γ < β } . Es soll bewiesen werden, dass es sich sogar um eine Menge handelt.

Hier liegt das Problem. Wenn man zuerst versuchen würde zu beweisen, dass diese Definition für Addition die eindeutige "Summe" definiert, dann würde man darüber stolpern, dass wir nicht wissen, ob { a + γ   | γ < β } Ist ein Satz. Aber bei anderer Ordnung weiß man nicht, ob die Summe eindeutig definiert ist.

Sie definieren Dinge nicht durch Induktion, sondern durch Rekursion . Sie benötigen eine geeignete Form des transfiniten Rekursionssatzes, um auf die Existenz (und Eindeutigkeit) von zu schließen + .

Antworten (2)

Wir wissen { a + γ   | γ < β } ist eine Menge nach dem Ersetzungsaxiom. Wir ersetzen jedes Element von γ durch seinen Zusatz mit a . Für jedes Element von γ wir haben diese Summe bereits definiert.

Anstatt sich auf die primitive/übliche Form der transfiniten Rekursion zu berufen, müssen Sie sich auf die unten zitierte parametrische Version davon berufen. Sie können das Lehrbuch Introduction to Set Theory von Karel Hrbacek und Thomas Jech durchsuchen, um weitere Informationen zu dieser Version zu erhalten.

Lassen v sei die Klasse aller Mengen, Best.-Nr sei die Klasse aller Ordinalzahlen, und G 1 , G 2 , G 3 Klassenfunktionen von sein v Zu v .

Es existiert eine Klassenfunktion F : v × Best.-Nr → v so dass, für alle z ∈ v

  • F ( z , 0 ) = G 1 ( z , ∅ )

  • F ( z , a + 1 ) = G 2 ( z , F z ( a ) ) für alle a ∈ Best.-Nr , mit F z ( a ) := F ( z , a )

  • F ( z , a ) = G 3 ( z , F z ↾ a ) für alle a ≠ 0 Grenze, mit F z ↾ a := { ⟨ β , F ( z , β ) ⟩ ∣ β < a }

Hier ist meine Einstellung, um nicht nur Addition, sondern auch Multiplikation und Potenzierung zu definieren:

ZUSATZ

Wir definieren G 1 , G 2 , G 3 folgendermaßen:

  • G 1 ( a , β ) = a

  • G 2 ( a , β ) = β + 1

  • G 3 ( a , β ) = { sup ( lief ⁡ ( β ) ) Wenn  β  ist eine Funktion ∅ ansonsten

Nach Satz gibt es F : v × Best.-Nr → v so dass

  • F ( a , 0 ) = G 1 ( a , ∅ ) = a

  • F ( a , β + 1 ) = G 2 ( a , F a ( β ) ) = F a ( β ) + 1 = F ( a , β ) + 1 für alle a ∈ Best.-Nr

  • F ( a , β ) = G 3 ( a , F a ↾ β ) = sup ( lief ⁡ ( F a ↾ β ) ) = sup ( { F ( a , γ ) ∣ γ < β } ) für alle a ≠ 0 Grenze

MULTIPLIKATION

Wir definieren G 1 , G 2 , G 3 folgendermaßen:

  • G 1 ( a , β ) = 0

  • G 2 ( a , β ) = β + a

  • G 3 ( a , β ) = { sup ( lief ⁡ ( β ) ) Wenn  β  ist eine Funktion ∅ ansonsten

Nach Satz gibt es F : v × Best.-Nr → v so dass

  • F ( a , 0 ) = G 1 ( a , ∅ ) = 0

  • F ( a , β + 1 ) = G 2 ( a , F a ( β ) ) = F a ( β ) + a = F ( a , β ) + a für alle a ∈ Best.-Nr

  • F ( a , β ) = G 3 ( a , F a ↾ β ) = sup ( lief ⁡ ( F a ↾ β ) ) = sup ( { F ( a , γ ) ∣ γ < β } ) für alle a ≠ 0 Grenze

EXPONENTIERUNG

Wir definieren G 1 , G 2 , G 3 folgendermaßen:

  • G 1 ( a , β ) = 1

  • G 2 ( a , β ) = β ⋅ a

  • G 3 ( a , β ) = { sup ( lief ⁡ ( β ) ) Wenn  β  ist eine Funktion ∅ ansonsten

Nach Satz gibt es F : v × Best.-Nr → v so dass

  • F ( a , 0 ) = G 1 ( a , ∅ ) = 1

  • F ( a , β + 1 ) = G 2 ( a , F a ( β ) ) = F a ( β ) ⋅ a = F ( a , β ) ⋅ a für alle a ∈ Best.-Nr

  • F ( a , β ) = G 3 ( a , F a ↾ β ) = sup ( lief ⁡ ( F a ↾ β ) ) = sup ( { F ( a , γ ) ∣ γ < β } ) für alle a ≠ 0 Grenze

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