Transfinite Induktion über Klasse von Ordinalzahlen.

Dies war eine Übung aus Endertons Text Elements of Set Theory. Ich bin mir meines Beweises nicht sicher - und ich frage mich, welche anderen möglichen Lösungen es gibt.

[7,25] (Transfinites Induktionsschema) Let$\phi(x)$sei eine Formel und zeige, dass gilt:

$$\text{ If $\forall \alpha, \, ( \forall x \in \alpha) \phi(x) \Rightarrow \phi(\alpha) $. Then $\phi(\alpha)$ for any ordinal $\alpha$.}$$

Meine Gedanken (Beweis): Für ordinal$\alpha$, Menge definieren

$$B:= \{ x \in \alpha \, | \, \phi(x) \}$$ Wir wenden das transfinite Induktionsprinzip (unten) auf das Set an $B \subseteq \alpha$, Wo $\alpha$ist gut nach Epsilon (nach Mitgliedschaft) geordnet. Wenn $\text{seg }x \subseteq B$, Dann $(\forall y \in x)\phi(y)$, somit, $\phi(x)$durch Hypothese des Problems. So $x \in B$, Und $B = \alpha$.

Folglich für jede Ordnungszahl$\alpha$,$(\forall x \in \alpha)\phi(x)$gilt, und nach Hypothese,$\phi(\alpha)$.

Transfinites Induktionsprinzip: Transfinites Induktionsprinzip: Angenommen, das$<$ist eine gute Bestellung auf$A$. Annehmen, dass$B$ist eine Teilmenge von$A$mit der besonderen Eigenschaft, dass für jeden$t \in A$,

$$\text{seg } t \subseteq B \Rightarrow t \in B$$ Dann $B$stimmt überein mit $A$.

Ist dieser Beweis richtig? Vielen Dank!

---

Beweis 2: (von Clive Newstand angedeutet)

Betrachten Sie die Klasse

$$B := \{ \alpha \, | \, \alpha \text{ is an ordinal } \, \& \, \phi(\alpha) \text{ does not hold } \}$$ Wenn $B$leer ist, dann sind wir fertig. Vermuten $B$nicht leer ist, gibt es $\beta \in B$. Definiere die Menge , $$B' = \{ x \in \beta \, | \, \phi(x) \text{ does not hold } \}$$ da jeder Satz von Ordnungszahlen nach Epsilon gut geordnet ist, let $\alpha'$sei das kleinste Element von $B'$. Also für alle $x \in \alpha'$, $\phi(x)$hält, Bedeutung $\phi(\alpha')$durch Hypothese, Widerspruch.

@Clive Newstead, ich frage mich, ob der obige Beweis korrekt ist.