Beweist ZZ\mathbf{Z} die Existenz eines transitiven Abschlusses jeder Menge?

Reicht die Zermelo-Mengentheorie aus, um die Existenz des transitiven Abschlusses einer Menge zu beweisen? X ?

T C ( X ) = { X , ⋃ X , ⋃ ⋃ X , … }

Antworten (1)

Nein, tut es nicht.

Es gibt zwei gängige Formen von Z : mit oder ohne Regelmäßigkeitsaxiom (oder Fundament). Ich nenne diese " Z + " Und " Z − " bzw.

Betreff: die Version mit Regelmäßigkeit, die meiner Erfahrung nach heutzutage die häufigere Darstellung ist (trotz der Wikipedia-Seite!), siehe die Ergebnisse von Jensen, Schröder und Boffa, die am Anfang von Mathias 'Papier über schlanke Modelle zitiert werden .

Betreff: die Regularitäts-freie Version, Esser und Hinnion zeigten, dass sogar das stärkere System Z − + A F A + W R E P versäumt es, die Existenz von transitiven Abschlüssen zu beweisen, wo A F A ist Aczels Antifundament-Axiom und W R E P ist eine schwache Form der Ersetzung (Satz 2.12 ).

Aber K P ω reicht, oder?
@Sapiens Ja, das stimmt.
Ich fand Azcels AFA immer irgendwie eine natürliche Erweiterung von Fnd. Es besagt immer noch, dass es für jede Gleichung eine eindeutige Lösung gibt; es sagt nur, dass mehr Gleichungen gelöst werden können, also ist das Universum immer noch ziemlich starr. Das große Durcheinander beginnt mit "Lass uns viele Lösungen für die gleichen Gleichungen haben" und am Ende hast du eine richtige Klasse von Atomen oder was auch immer.
Beweist ZZ\mathbf{Z} die Existenz eines transitiven Abschlusses jeder Menge?
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