Können wir ein Set definieren, das alle Sets in ZFC enthält, und dann beweisen, dass es nicht existiert?

Die natürlichsprachliche Aussage „es gibt keine Menge aller Mengen“ wird in der Mengenlehre formalisiert als

(Denken Sie daran, dass in$\mathsf{ZFC}$ alle Dinge sind Mengen, also ist "ist eine Menge" nur eine Dummy-Phrase.)

Sie scheinen verwirrt zu sein über die Rolle der Axiome, zB wenn Sie schreiben

Gemäß dem Axiomenschema der Spezifikation (auch Axiomenschema der Trennung oder des eingeschränkten Verständnisses genannt) kann eine neue Menge nur mit der folgenden Formel definiert werden [...].

Axiome sind nicht kreativ , sie sind beschreibend : Sie erzeugen in keiner Weise die existierenden Objekte, sie sagen uns lediglich, wie sich diese Objekte verhalten müssen. Die Trennungsaxiome sagen nicht, dass jede Menge auf eine bestimmte Weise erstellt werden muss, sie beschreiben nur bestimmte Arten von Mengen, die garantiert existieren. Und die Axiome haben sicherlich keinen Einfluss darauf, was wir definieren können – das ist nur eine Frage der Sprache, es hat nichts mit den Axiomen zu tun, um die es geht.

Folgendes könnte helfen:

Wir können die Eigenschaft, eine universelle Menge zu sein, in der Sprache der Mengenlehre durch die Formel ausdrücken

$$\upsilon(x):\quad \forall y(y\in x).$$ Der$\mathsf{ZFC}$Axiome implizieren anschließend , dass es keine universelle Menge gibt, das heißt, wir haben $$\mathsf{ZFC}\vdash\forall x\neg\upsilon(x).$$ Unterschiedliche Axiomensysteme können unterschiedliche spezifische Ergebnisse liefern - zB die alternative Mengenlehre$\mathsf{NFU}$beweist, dass es eine universelle Menge gibt , und$\mathsf{NFU}$hat eine streng schwächere Konsistenzstärke als$\mathsf{ZFC}$.

Noahs Antwort genügt für ZFC. Aber selbst in einem grundlegenden System mit Mengen und Nicht-Mengen, das ähnliche Axiome wie ZFC hat (z. B. ZFA), ist Ihr Argument immer noch fehlerhaft. Der Satz „es gibt keine Menge, zu der jede Menge gehört“ lässt sich offensichtlich und direkt in „¬∃S∈Menge ∀T∈Menge ( T∈S )“ übersetzen. Absolut nichts davon erhebt irgendeinen Anspruch auf die Existenz irgendeiner Menge aller Mengen. Hier bezeichnet "Set" eine Sortierung, keine Menge. In der Tat ist die Behauptung, dass es nicht existiertirgendein solches Set. In der einfachen FOL sind Quantoren unbeschränkt und erstrecken sich über die gesamte Domäne. In der vielsortierten FOL erstreckt sich jeder Quantifizierer über eine bestimmte Art von Objekten. Beispielsweise kann ein Vektorraum leicht als 2-sortierte Struktur mit einer Sortierung für Vektoren und der anderen Sortierung für Skalare axiomatisiert werden. Sie können vielsortiertes FOL in einfaches FOL übersetzen, indem Sie für jede Sorte ein Prädikatsymbol verwenden, sodass die zusätzliche Ausdruckskraft eigentlich keine Rolle spielt.

Wie Noah betonte, ist "Menge, zu der jede Menge gehört" eine Eigenschaft, keine Menge, und kann in ZFC durch eine geeignete Formel mit einem Parameter erfasst werden. Ich möchte weiter darauf hinweisen, dass jeder Satz über einer Mengenlehre von vornherein voller Quantifizierer über Mengen ist, und es nicht einmal nötig ist, einen von ihnen so zu umschreiben, dass er in Bezug auf Eigenschaften steht. Zum Beispiel „für jeden Satz$S,T$Es gibt eine Menge, zu der ein Objekt genau dann gehört, wenn es dazugehört$S$oder$T$" ist ein vollkommen guter Satz mit der gleichen Formulierung, und Sie sollten ihn einfach mit Quantifizierern übersetzen.

Was Noah auch damit meint, dass "Set" in ZFC eine Dummy-Phrase ist, ist, dass eigentlich keines der ZFC-Axiome etwas über "Sets" aussagt. Vielmehr erstrecken sich alle ihre Quantifizierer über das gesamte (beabsichtigte) Universum. Und was auch immer dieses Universum sein mag, ist es nichteigentlich von ZFC vorgegeben. ZFC axiomatisiert, was einige Leute für sinnvolle FOL-Aussagen halten, wenn die Quantifizierer so interpretiert werden, dass sie sich über "Sätze" erstrecken. (Es gibt tatsächlich eine beträchtliche Menge philosophischer Annahmen, die einigen ZFC-Axiomen zugrunde liegen.) Die ZFC-Axiome an sich sind also technisch bedeutungslos; erst nachdem Sie sie als „Mengen“ interpretiert haben, werden sie zu Aussagen über „Mengen“. Vergleiche mit der FOL-Gruppentheorie; Keines der Axiome sagt etwas über "Elemente" aus, und sie machen nur Sinn, wenn Sie ihre Quantifizierer so interpretieren, dass sie sich über die Elemente einer tatsächlichen Gruppe erstrecken, und das binäre Funktionssymbol als die tatsächliche binäre Operation in dieser Gruppe interpretieren.