Kann es widerspruchsfreie abzählbare FOL-Theorien geben, die keine abzählbaren Modelle haben?

L S ( ℵ 0 ) : Jedes Modell M einer Theorie erster Ordnung T mit zählbarer Signatur hat ein elementares Teilmodell N was höchstens zählbar ist.

Nun ist dieser Satz äquivalent über Axiome von Z F zum Axiom der abhängigen Wahl ' ' D C " .

Bedeutet das nun, dass in Z F + ¬ D C , können wir eine konsistente Theorie in einer zählbaren Signatur haben, die kein zählbares Modell hat?

Antworten (1)

Nein. Wenn eine Theorie gut geordnet ist, dann hat sie ein gut geordnetes Modell, das alle üblichen Eigenschaften erfüllt Z F C .

Um zu sehen, warum, beachten Sie, dass Sie alles in eine Reihe von Ordnungszahlen codieren können A , dann in L [ A ] Ihre Theorie existiert und sie ist ein Modell von Z F C , also hat die Theorie ein abzählbares Modell. Aber das ist nach oben absolut zu v .

Das ist ein massiv übertriebenes Argument - beachten Sie nur, dass die übliche Modellkonstruktion ohne Wahl durchgeht, wenn die Theorie gut beherrschbar ist. (+1 natürlich, obwohl.)
Sicher, aber das ist ein netteres Argument.
Können wir Theorien erster Ordnung in zählbaren Signaturen haben, die nicht gut bestellbar sind?
@Zuhair: Nein. Wenn eine Theorie zählbar ist, ist die Signatur zählbar. Wenn eine Signatur zählbar ist, gibt es zählbar viele Sätze, aus denen eine Theorie geboren wird. Wenn eine Signatur gut geordnet ist, dann gibt es gut geordnet viele Sätze. Wenn Sie nur Symbole hinzufügen, sie aber nie verwenden, welchen Sinn haben sie dann?
Kann es widerspruchsfreie abzählbare FOL-Theorien geben, die keine abzählbaren Modelle haben?
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