Wie beweist man 2+2=42+2=42+2=4 mit der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie?

Die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ist in einer Sprache formuliert, die eine binäre Beziehung hat$\in$, und das ist es. Die Symbole$1,2,3,4$Und$+$syntaktisch "keinen Sinn" machen.

Also muss man zuerst erklären, was ist$2$im Rahmen der Mengenlehre. Das bedeutet, dass Sie einige Mengen definieren müssen, die sich so verhalten, wie Sie es von den natürlichen Zahlen erwarten würden. Normalerweise sind dies die endlichen von Neumann-Ordnungszahlen, rekursiv definiert als$0=\varnothing$Und$n+1=n\cup\{n\}$. Es gibt andere Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu definieren, oder Sie könnten über die reellen Zahlen nachdenken, und dann müssen Sie diese auch zuerst definieren, aber bleiben wir zunächst bei den von Neumann-Ordnungszahlen und sehen, wohin uns das führt.

Beachten Sie, dass selbst im Fall der Peano-Arithmetik oder der Ringtheorie das Symbol für$2$und das Symbol für$4$sind nicht Teil der Sprache. Sie werden als Abkürzung für entweder wiederholte Summen von verwendet$1$oder wiederholtes Anlegen der Nachfolgefunktion an$0$, oder so weiter.

Also wenn$2$ist definiert als$1+1$Und$4$ist definiert als$((1+1)+1)+1$, und Sie haben ein Axiom, das das sagt$(x+y)+z=x+(y+z)$, dann sind Sie praktisch fertig:$(1+1)+(1+1)=((1+1)+1)+1$, So$2+2=4$. Aber gut, zurück zur Mengenlehre.

Wir haben die natürlichen Zahlen, also$2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$Und$4$, gut, lass uns einfach schreiben$4$. Danach müssen Sie fragen, was ist$+$. Denkst du über$+$als rekursive Definition der Anwendung der Nachfolgerfunktion? Sogar die Peano-Axiome, die normalerweise die Grundlage für die Arithmetik bilden, haben$+$als eigenständiges Objekt, und es besteht eine Verbindung zwischen$+$und die Nachfolgefunktion. Es gibt zwei Standardmethoden, um zu definieren, was ist$+$zu den natürlichen Zahlen im Rahmen der Mengenlehre:

1. Sukzessive Anwendung der Nachfolgefunktion, also$x+0=x$Und$x+S(y)=S(x+y)$. In diesem Fall,$2+2=S(1)+S(1)=S(S(0))+S(S(0))=\dots=S(S(S(S(0))))$. Und jetzt können wir auch zurück in Mengen übersetzen, um "eine vollständige mengentheoretische Aussage" zu erhalten. Aber es ist schrecklich, und ich will es nicht tun.

2. Verwenden der Kardinalität von Mengen. Beachten Sie, dass$n$ist eine Menge mit genau$n$Elemente.$0$hat keine Elemente und$1$hat genau ein Element (nämlich$0$, wie sich herausstellt). So können wir definieren$n+m=k$genau dann, wenn die Anzahl der Elemente in einer disjunkten Vereinigung einer Kopie von$n$und eine Kopie von$m$, Ist$k$. Oder, in modernen Begriffen, gibt es eine Bijektion zwischen den beiden Mengen.

   In diesem Fall muss man eine Funktion von aufschreiben$\{\langle 0,0\rangle,\langle 0,1\rangle\}\cup\{\langle 1,0\rangle,\langle 1,1\rangle\}$, oder$\{0\}\times2\cup\{1\}\times2$, Und$4$welches ist$\{0,1,2,3\}$. Dies beginnt natürlich damit, zu definieren, was aus mengentheoretischer Sicht ein geordnetes Paar ist, was eine Funktion ist usw., und dies dann wieder als mengentheoretischen Ausdruck zu schreiben. Was nach wie vor eine schreckliche Übung in Sinnlosigkeit ist.

Am einfachsten ist es am Ende, dies "blockweise" zu beweisen. Beweisen Sie zuerst, dass es eine Möglichkeit gibt, die natürlichen Zahlen zu formalisieren, dann formalisieren Sie die Addition, und zeigen Sie dann, dass, egal welche Formalisierung Sie wählen, es der Fall sein muss, solange sie bestimmte Eigenschaften erfüllt (die Sie von den natürlichen Zahlen erwarten würden). dass das Objekt entspricht$2+2$ist das entsprechende Objekt$4$.

Oder sei einfach nervig und erkläre, dass du interpretierst$2,+$Und$4$auf eine nicht standardmäßige Weise so$2+2=5\neq 4$. Was auch immer dir gefällt.

In ZFC würden Sie normalerweise die Additionsfunktion durch Rekursion konstruieren, sodass sie nach dem allgemeinen Rekursionstheorem die Rekursionsgleichungen erfüllen würde

Nachdem ich das bewiesen habe$2=S(S(0))$Und$4=S(S(S(S(0))))$(die Sie vielleicht in erster Linie als Definitionen angesehen haben), es ist so einfach wie

Abhängig von der zugrunde liegenden Formalisierung der Logik erster Ordnung kann es mehr oder weniger umständlich sein, diese Gleichungsführung als Formal auszudrücken. Um es halbwegs lesbar zu machen, hängt es insbesondere von der Fähigkeit ab, neue Begriffsnotationen (wie z$x+y$) außer denjenigen, die in der ursprünglichen logischen Sprache vorhanden sind, und die meisten Beweissysteme für die Logik erster Ordnung begnügen sich damit, dies zu handhaben, indem sie atomare Formeln betrachten, die die neuen Terme als Abkürzungen eines komplexeren Nestes von Quantoren beinhalten.

Wenn Sie also PM mit der Kombination aus orthodoxem Lehrbuch FOL + ZFC vergleichen, kann letzteres nicht unbedingt die Nase vorn haben.

Andererseits haben moderne Beweisassistenten gezeigt, dass formales Denken in der Logik erster Ordnung viel reibungsloser durchgeführt werden kann als mit den Lehrbuch-Beweissystemen – zB durch Einbetten von FOL in ein geeignetes System höherer Ordnung, in dem das obige Gleichungsdenken durchgeführt werden kann mehr oder weniger direkt, und dann ein für alle Mal beweisen, dass dieses System höherer Ordnung konservativ gegenüber der Logik erster Ordnung ist.

Im ZFC-Axiomsystem werden natürliche Zahlen durch Mengen dargestellt. Zum Beispiel,$0$wird normalerweise durch die leere Menge dargestellt$\emptyset = \{\}$.

Sie können den Nachfolger einer Zahl auf unterschiedliche Weise darstellen. Eine gängige Methode, dies zu tun, ist die Darstellung einer beliebigen Zahl größer als$0$als Menge aller kleineren Zahlen. Daher,$1=\{\emptyset\}$,$2=\{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\} \}$.

Dies hat die schöne Eigenschaft, dass$a < b$iff$a \in b$iff$a\subset b$.

Wir können also den Nachfolger einer Zahl berechnen als$s(a) = \{a\}\cup a$. Wir stellen fest, dass der Vorgänger auch einfach zu berechnen ist.

Summation ist rekursiv definiert, so dass$a+0 = a$, Und$a+s(b) = s(a)+b$.

Die wiederholte Anwendung dieser beiden Regeln gibt uns das$2+2 = 3+1 = 4+0 = 4$

Zuerst müssen Sie die Zahlen konstruieren, die Sie verwenden. Es kann die Menge der natürlichen Zahlen sein. Sie können die berühmte Konstruktion verwenden$\emptyset$für$0$,$\{\emptyset\}$für$1$,$\{\{\emptyset\}, \emptyset\}$für$2$usw. Danach müssen Sie a konstruieren$+$Operator. Es kann eine Funktion sein$+:\mathbb{N}^2\rightarrow\mathbb{N}$. Diese Funktion kann als Satz von Paaren konstruiert werden$((a,b),c)$einige Bedingung erfüllen$a$,$b$Und$c$. Ein geordnetes Paar kann mit der Kuratowski-Definition konstruiert werden. Schließlich können Sie überprüfen, ob$2+2=4$.

Axiomatische Mengenlehre ist eine anerkannte Grundlage der Mathematik, in der Sie die gesamte Mathematik konstruieren können (da bin ich mir nicht sicher). Allerdings wird niemand diese Konstruktionen jemals von Hand ausführen.

Stellen Sie sich vor, Sie möchten die explizite Konstruktion des Tangentialbündels einer glatten Mannigfaltigkeit ausdrücken. Das wäre riesig und verwirrend.

Die vorhandenen Antworten sprechen mehr oder weniger von ordinaler Addition. In Bezug auf Kardinäle: Sprich$|A|$bezeichnet die Mächtigkeit der Menge$A$. Sprichwort$2+2=4$dann heißt das:

Satz. Wenn$A\cap B=\emptyset$,$|A|=|B|=2$, Dann$|A\cup B|=4$.$\newcommand\two{\{0,1\}}$ $\newcommand\four{\{0,1,2,3\}}$

Jetzt schreiben wir$A\sim B$bedeutet, dass es eine Bijektion von gibt$A$auf zu$B$. Dann$|A|=2$bedeutet, dass$A\sim\{0,1\}$(wobei es hier egal ist was$0$Und$1$sind, alles was zählt ist$0\ne 1$) und ähnliches$|A|=4$bedeutet$A\sim\four$.

Wir brauchen ein Lemma:

Lemma. $\two\sim\{2,3\}$.

Und nun zum Beweis des Satzes: Angenommen$A\cap B=\emptyset$Und$|A|=|B|=2$. Das zeigt das Lemma$B\sim\{2,3\}$. Seit$\two\cap\{2,3\}=\emptyset$es folgt dem

Hinweis zu "Ordinaladdition" versus "Kardinaladdition": Das sind zwei verschiedene Dinge. In der Tat$2$Und$4$sind Kardinalzahlen und Ordinalzahlen, also die Aussage "$2+2=4$" ist a priori mehrdeutig, da wir nicht angegeben haben, ob es sich um eine ordinale Addition oder eine kardinale Addition handelt. In hoffentlich offensichtlicher Notation zeigen die anderen Antworten dies$2+_o2=4$, während wir das hier zeigen$2+_c2=4$.

Nach den Standarddefinitionen ist eine endliche Ordnungszahl dasselbe wie eine endliche Kardinalzahl, und die beiden Additionsbegriffe für endliche Ordnungszahlen / Kardinalzahlen kommen gleich heraus. Aber es ist wichtig zu erkennen, dass sie für unendliche Ordinalzahlen und unendliche Kardinalzahlen wirklich unterschiedlich sind.

Sagen Sie zum Beispiel$\omega$ist die erste unendliche Ordinalzahl und$\aleph_0$ist der erste unendliche Kardinal. Dann, als Sätze,$\omega=\aleph_0$, aber zumindest in der Art, wie die Notation normalerweise interpretiert wird,$\omega+\omega\ne\omega$während$\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$. Das ist kein Widerspruch, denn die beiden Pluszeichen bedeuten unterschiedliche Dinge; in sorgfältigerer Notation, die niemand wirklich verwendet,$\omega+_o\omega\ne\omega$Und$\aleph_0+_c\aleph_0=\aleph_0$.

Also , wenn Sie sehen "$+$„In der Mengenlehre muss man den Kontext betrachten, um festzustellen, ob es bedeutet$+_o$oder$+_c$.