Gibt das Axiomschema der Spezifikation in ZFC an, dass eine Teilmenge einer beliebigen Menge existiert?

In der Standardlogik erster Ordnung "existieren" alle Elemente des Universums, daher ergibt das Axiom, das Sie geschrieben haben, keinen Sinn: "$\exists y$„Alles allein ist keine Formel: Quantoren müssen ein Prädikat beherrschen, wie in$\exists y(y \neq x)$.

Es ist jedoch möglich, eine Klassentheorie zu formalisieren, in der Mengen wie die in ZF als besondere Art von Klasse auftreten. Eines der bekanntesten Systeme dieser Art heißt NBG . In einem solchen System ist eine Menge eine definierbare Eigenschaft, Mengen sind die Dinge, die Elemente einer Klasse sind. Sie können den Begriff der Set-Haube also folgendermaßen definieren:

$$M(x) \equiv \exists y(x \in y)$$ ("M" für "Menge" - Deutsch für Menge.) In einem solchen Rahmen ist es sinnvoll zu schreiben $$\forall z\forall y (M(z) \land (\forall x(x \in y \Rightarrow x \in z)) \Rightarrow M(y))$$ was sagt, dass jede Klasse$y$die in einem Satz enthalten ist$z$ist selbst eine Menge. Diese Aussage oder eine äquivalente Aussage ist eines der Axiome von NBG.

Die Zeichenfolge, die Sie geschrieben haben, ist keine wohlgeformte Zeichenfolge.

$$\forall z [\forall x ((x \in y) \Rightarrow (x \in z)) \Rightarrow \exists y]$$

Zum einen können Quantoren zu bestehenden Formeln hinzugefügt werden, sie sind nicht atomar. Das Ziel ist es, eine Variable in einen Kontext einzubinden . So$\exists y$allein ist ein Syntaxfehler. Der Bereich des Quantors wird ebenfalls misshandelt, da er die verlässt$y$im ersten Teil frei, Sie schreiben also nicht einmal ein Axiom, sondern eine Formel, die der Aufgabe bedarf, um etwas Sinnvolles zu sagen$y$im Voraus.

Aber vielleicht wird es klarer, wenn wir die Terminologie klären. Mengen sind genau die Dinge, die im Kontext von existieren$\sf ZFC$, also ist es irgendwie lustig, über eine Teilmenge zu sprechen, da es die Existenz von Anfang an vorauszusetzen scheint. Jede Teilmenge einer Menge$x$existiert, da es per Definition eine Menge ist. Also, was ist der Haken hier, warum brauchen wir dieses Axiom überhaupt?

Das Spezifikationsaxiom besagt, dass jede Unterklasse einer Menge eine Menge ist. Mit anderen Worten, bei einer gegebenen Menge und einer gegebenen Eigenschaft bildet die Sammlung von Elementen, die der Eigenschaft innerhalb der Menge entsprechen, ebenfalls eine Menge.

Der Zweck des Axiomschemas der Spezifikation besteht darin, uns eine Möglichkeit zu geben, Teilmengen einer Menge aufzuschreiben (zu spezifizieren).$z$. Das heißt, für jede Formel$\phi(x)$, können wir eine Teilmenge konstruieren$\{x\in z\ |\ \phi(x)\}$. Insbesondere jede Teilmenge von$z$kann durch eine bestimmte Formel angegeben werden.

Ohne dieses Axiomenschema haben wir keine Möglichkeit zu wissen, wie man Teilmengen von konstruiert$z$, geschweige denn zeigen, dass sie existieren. Das Potenzmengenaxiom hilft uns auch nicht bei der Konstruktion von Teilmengen. Das Beste, was wir tun könnten, wenn wir wüssten, wie man eine endliche Anzahl von Elementen konstruiert$x_1,\ldots,x_n\in z$besteht darin, die endliche Teilmenge zu konstruieren$\{x_1,\ldots,x_n\}\subset z$mit dem Paarungsaxiom.

Beachten Sie, dass die Formel, die Sie schreiben, nicht wohlgeformt ist, weil Sie sich darauf beziehen$y$bevor es quantifiziert wird.

Damit verbunden ist folgende Frage: Ist das Subset Axiom Schema in ZF notwendig?