Was bedeutet es wirklich, dass ein Modell punktweise definierbar ist?

Der erste Punkt ist die Unterscheidung zwischen internen und externen Eigenschaften. Dies wird durch die Tatsache verschärft, dass wir speziell darauf schauen$\mathsf{ZFC}$, was auf höchst verwirrende Weise "doppelte Pflicht erfüllt".

Die kurze Antwort auf Ihre Frage lautet jedoch: "$3$."

Zuerst die interne Seite der Dinge. Dies ist nur für das Ende Ihrer Frage relevant.

Wenn wir sagen „Eigenschaft X ist nicht erster Ordnung ausdrückbar“, meinen wir fast immer „Es gibt keinen Satz erster Ordnung$\varphi$so dass für jede geeignete Struktur$\mathcal{M}$, wir haben$\mathcal{M}\models\varphi$iff$\mathcal{M}$hat die Eigenschaft X." So ist zum Beispiel eine Torsionsgruppe nicht erster Ordnung ausdrückbar.

Insbesondere "Punktweise Definierbarkeit ist nicht erster Ordnung ausdrückbar" ist eine Folge des folgenden vielleicht einfacheren Ergebnisses:

Jede (unendliche) punktweise definierbare Struktur ist elementar äquivalent zu einer nicht punktweise definierbaren Struktur.

Die obige Aussage wird innerhalb gemacht und bewiesen$\mathsf{ZFC}$. Die "Atombombe" ist nach oben Löwenheim-Skolem:

• $\mathsf{ZFC}$beweist „Wenn$\mathcal{M}$ist dann eine punktweise definierbare Struktur$\mathcal{M}$ist zählbar."

  • Warte, was ? Siehe das Ende dieser Antwort.

• $\mathsf{ZFC}$beweist auch "Jede unendliche Struktur$\mathcal{M}$ist elementar äquivalent zu einer unendlichen Struktur streng größerer Kardinalität.

• Wenn wir diese zusammenfügen, haben wir das gewünschte Ergebnis.

Als Folge davon haben wir folgendes (wieder bewiesen in$\mathsf{ZFC}$):

Für jede Theorie erster Ordnung$T$, entweder$T$hat überhaupt keine punktweise definierbaren Modelle oder die Klasse der punktweise definierbaren Modelle von$T$ist keine Grundschule.

(Wir brauchen die erste Klausel, falls die relevante Klasse ist$\emptyset$. Dies kann tatsächlich passieren, auch wenn$T$ist konsistent: Betrachten Sie die Theorie einer reinen Menge mit zwei Elementen.)

Aber der Großteil des Problems in Ihrem OP betrifft die externe Seite der Dinge. Hier ist Ihre dritte Option, die wie folgt gilt:

• Wir nennen und beweisen jede relevante Tatsache$\mathsf{A}$innen$\mathsf{ZFC}$.

• ... Abgesehen davon, dass wir manchmal aus Übungsgründen nachlässig sind - und entweder (die beiden Optionen sind gleichwertig) tatsächlich ein stärkeres System verwenden$\mathsf{ZFC+X}$oder beweisen$\mathsf{X}\rightarrow\mathsf{A}$für einige "unausgesprochen, aber aus dem Kontext klar" (: P) zusätzliches Prinzip$\mathsf{X}$. Standardkandidaten für$\mathsf{X}$beinhalten die Standardprinzipien der "allgemeinen Konsistenz" ("$\mathsf{ZFC}$hat ein Modell/$\omega$-Modell/transitives Modell") und - weit weniger gutartig, aber leider mit einer Häufigkeit ungleich Null - die ganze Reihe großer Kardinalaxiome.

Allerdings scheint mir, dass das HLR-Papier in diesem Punkt eigentlich ziemlich gut ist. Zum Beispiel der erste Aufzählungspunkt von Theorem$3$ist „Wenn$\mathsf{ZFC}$konsistent ist, dann gibt es Kontinuum viele nicht isomorphe punktweise definierbare Modelle von$\mathsf{ZFC}$," das ist in der Tat ein$\mathsf{ZFC}$-Satz. (Mir könnte jedoch woanders eine Elision fehlen.)

Beachten Sie als Coda, dass ich das oben erwähnt habe$\mathsf{ZFC}$beweist, dass jede punktweise definierbare Struktur abzählbar ist. Dies geschieht im Übrigen durch genau das „Mathe-Tee-Argument“. Also was gibt?

Nun, wir müssen entpacken, was "Jede punktweise definierbare Struktur ist zählbar" bedeutet, wenn wir es formulieren$\mathsf{ZFC}$. Wenn wir sagen "$\mathcal{M}$ist punktweise definierbar", was wir meinen, dass es eine geeignete Zuordnung von Wahrheitswerten zu Paaren gibt, die aus Formeln der Sprache und Tupeln geeigneter Stelligkeit bestehen, so dass [Zeug]. Dieser Datenklumpen existiert "eine Ebene höher" als$\mathcal{M}$selbst, und insbesondere sogar das Bit dieses Blobs, das überprüft, ob jedes Element von$\mathcal{M}$erfüllt "$x=x$" ist eine Sammlung von$\mathcal{M}$- viele Fakten. Als solche:

Unter Verwendung der "all-at-once"-Definition von$\models$, was für Strukturen in Satzgröße völlig in Ordnung ist, haben wir$\mathsf{ZFC}\vdash$"$V\not\models \forall x(x=x)$."

Hehehehe.

Denn der Ausdruck „$V\not\models\forall x(x=x)$“, wenn wir versuchen, es direkt wie oben zu interpretieren, ist eine Abkürzung für: „Es gibt eine Funktion mit Domäne$V\times Formulas(\{\in\})$so dass ...", und das ist bei der Ankunft tot, da es keine Funktionen mit der Domäne gibt$V$an erster Stelle.

Also eigentlich$\mathsf{ZFC}$ beweist "$V$ist nicht punktuell definierbar" - solange wir das blind formulieren. Aber wenn wir das tun, dann müssen wir das zugeben$\mathsf{ZFC}$ beweist auch z. B. "Es gibt keinen Satz, der$V$erfüllt.“ Was … ja.

Übrigens sollten Sie sich wegen des oben Gesagten über ein paar Dinge Sorgen machen:

• Relativ wohlwollend ist die „alles-auf-einmal“-Definition von$\models$ eigentlich geeignet für satzgroße Strukturen? In der Tat, aber das ist nicht ganz trivial. Insbesondere die$\mathsf{ZFC}$Axiome sind stark genug, um die rekursive Konstruktion der Theorie einer Struktur durchzuführen und dies so für jede (mengengroße) Struktur zu beweisen$\mathcal{M}$es gibt genau eine Beziehung zwischen Formeln und Tupeln$\mathcal{M}$die gewünschten Eigenschaften erfüllen. Schwächere Theorien müssen nicht so schön sein: Während jede nicht ganz dumme Theorie beweisen kann, dass höchstens ein "theorieähnliches Ding" für eine bestimmte Struktur existiert, verlieren wir die Fähigkeit, Tarskis auszuführen, wenn wir schwach genug werden "Algorithmus." (Glücklicherweise müssen wir tatsächlich ziemlich schwach werden; siehe meine Antwort hier .)

• Grundlegender, warum sind wir so unbekümmert, wie wir verschiedene mathematische Behauptungen in der Sprache der Mengenlehre formulieren? Das ist natürlich alles andere als neu, und insbesondere die obige Beobachtung im genauen Sinne$\mathsf{ZFC}$beweist "$V$befriedigt nicht$\forall x(x=x)$" ist nur ein weiteres Beispiel für ein Junk-Theorem . Meiner Meinung nach ist es jedoch eines der besorgniserregenderen: Im Gegensatz zu zB "Is$\pi\in 42$?“, es ist nicht ganz klar, dass „Tut$V\models \forall x(x=x)$?" ist etwas, was wir in der alltäglichen Mathematik nie aus Versehen fragen würden. Letztendlich mache ich mir immer noch keine Sorgen, aber ich denke, dass dies die Ernsthaftigkeit der Frage unterstreicht: "Ist$X$eine getreue Übersetzung von$Y$?"

• Abschließend auf rein technischer Ebene: Was ist mit Mengentheorien, die Funktionen auf dem Universum zulassen , und in Bezug auf die daher die "innere Naivität$V\models ...$"-Situation ist nicht trivial? Nun, per Tarski/Godel(/etc.) wissen wir, dass die Dinge immer noch böse sein müssen. Siehe das Ende dieser alten Antwort von mir für eine schnelle Analyse des speziellen Falls von$\mathsf{NF}$.