Maximal konsistente Theorien haben vollständige zählbare Teiltheorien in jeder zählbaren Teilsprache.

Gegeben sei eine maximal konsistente Theorie T in einer Sprache L , zeige das für jede zählbare L 0 ⊆ L , da ist ein T 0 ⊆ T das ist komplett.

Ich habe einen Lösungsversuch unternommen, aber es scheint nicht die Bedingung der Zählbarkeit zu verwenden, und es scheint zu einfach zu sein.

Vermuten L 0 ⊆ L . Lassen T 0 := { φ ∈ T : φ ∈ L 0 } . Dann für jeden φ ∈ L 0 , entweder T ∪ φ oder T ∪ ¬ φ ist konsistent, was impliziert φ ∈ T oder ¬ φ ∈ T was bedeutet φ ∈ T 0 oder ¬ φ ∈ T 0 und somit T ⊢ φ oder T ⊢ ¬ φ .

Dies erscheint jedoch zu einfach und nutzt die Tatsache nicht aus L 0 ist zählbar. Kann bitte jemand meinen Beweis überprüfen? Danke schön!

Das ist richtig - allgemeiner, wenn T ist maximal konsistent L -Theorie u L 0 ist eine Untersprache von L , Dann T 0 := T ∩ L 0 ist maximal konsistent L 0 -Theorie. Sind Sie sicher, dass Sie das Problem richtig kopiert haben?
Dies ist die genaue Aussage: „Let T eine maximal konsistente Theorie sein. Zeigen Sie das für alle zählbaren L 0 ⊆ L ( T ) es existiert T 0 ⊆ T komplett in L0."
Ja das ist albern. Vielleicht ist dem Dozenten/Text ein Tippfehler unterlaufen? Ich habe keine Ahnung.
Die einzige Vermutung, die ich habe: Beinhaltet Ihr Text Erfüllbarkeit als Teil der Definition von Vollständigkeit? Wenn ja, gibt es hier einen kleinen Unterschied: Es ist einfacher, den Vollständigkeitssatz für abzählbare Sprachen zu beweisen als für beliebige Sprachen (und tatsächlich ist ersterer beweisbar in Z F allein, während letzteres eine gewisse Menge des Axioms der Wahl erfordert), und Ihr Lehrer beweist möglicherweise den Vollständigkeitssatz, indem er ihn zuerst für zählbare Theorien beweist und ihn dann auf beliebige Theorien anhebt. Das wäre wirklich seltsam, aber zumindest nicht völlig albern.
Nein, wir verwenden T ist vollständig, wenn es konsistent und für alle ist φ , T beweist es oder seine Negation. Und T ist maximal konsistent, wenn es konsistent ist und keine konsistente echte Erweiterung hat. Ich denke, es ist dann einfach seltsam?
Ja. Ist das eine Übung aus einem Text (wenn ja, welcher Text?) oder hat sich das ein Dozent ausgedacht? Wenn letzteres der Fall ist, denken Sie daran, dass Ausbilder Menschen sind: Sie hatten vielleicht nur einen dummen Moment.
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Antworten (1)

Ja, das formulierte Problem ist genau so einfach, wie es scheint. Tatsächlich haben Sie mehr bewiesen (wie Sie beobachtet haben):

Wenn T ist maximal konsistent L -Theorie dann für jede Subsprache L 0 ⊆ L die Subtheorie T ∩ S e N T ( L 0 ) ist maximal konsistent L 0 -Theorie.

Es ist erwähnenswert, dass es jedoch eine Subtilität gibt, die in Bezug auf die Erfüllbarkeit auftaucht: zählbare vs. unzählbare Sprachen . Die Aussage „Jede konsistente Theorie in einer zählbaren Sprache hat ein Modell“ ist nämlich in der Mengenlehre ohne das Wahlaxiom beweisbar (und tatsächlich können wir „zählbar“ durch „gut bestellbar“ ersetzen), aber der Satz von der vollständigen Vollständigkeit ist es nicht . Das Folgende ist also ein nichttrivialer Satz:

( Z F ): Wenn T ist eine konsequente L -Theorie u L 0 ist eine zählbare (oder in der Tat gut bestellbare) Untersprache von L , Dann T ∩ S e N T ( L 0 ) ist erfüllbar. Außerdem, wenn T maximal konsistent ist , dann gibt es eine Struktur M 0 so dass T ∩ S e N T ( L 0 ) = T H ( M 0 ) .

Aber es hört sich so an, als wäre das für das, was Sie tun, nicht relevant. Ich vermute, dass Ihr Lehrer einen Tippfehler gemacht hat oder einen anderen dummen Moment hatte.

Maximal konsistente Theorien haben vollständige zählbare Teiltheorien in jeder zählbaren Teilsprache.
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