Ist eine mathematische Aussage durch alle ihre notwendigen Bedingungen eindeutig bestimmt?

Die Frage, die ich habe, ist im Grunde die im Titel: ob ich eine Aussage behebe P , ist die Menge aller Bedingungen { X ich } notwendig für P Um wahr zu sein, genug Informationen für mich, um mich zu erholen P ?

Ein Versuch, die Frage zu präzisieren, lautet wie folgt. Korrigieren Sie eine Formel P in irgendeiner Sprache L . Gegeben eine Reihe von Formeln { X ich } ich ∈ ICH so dass der Satz { P → X ich } ich ∈ ICH maximal konsistent ist, kann ich feststellen P eindeutig bis auf logische Äquivalenz?

Betrachten Sie als Beispiel, wo dies zutrifft, die Sprache erster Ordnung L NT der Zahlentheorie und die folgenden zwei Aussagen

X 1 ≡ " X  ist gerade" X 2 ≡ " X  ist prim" .

aus diesen notwendigen Bedingungen kann ich das für jede Menge von Bedingungen bestimmen { X ich } enthält X 1 Und X 2 , ich falle { P → X ich } gleichzeitig erfüllt sind, dann haben wir bis auf logische Äquivalenz P ≡ " X = 2 " .

In Ihrem Beispiel können wir nicht auch haben P ( X ) ≡ ⊥ ?
Gemäß der Aussage des Curry-Howard-Isomorphismus als Menge (Typ) kann die Existenz und Eindeutigkeit Ihrer betroffenen Aussage P sofort durch das Axiomschema der Spezifikation sichergestellt werden , das ein kritisches Axiom der Mengentheorie ist, das besagt, dass es immer eine Menge B gibt (eine Teilmenge von A entworfen um das Russell-Paradoxon aufzulösen), so dass bei einer gegebenen Menge x x genau dann ein Mitglied von B ist, wenn x ein Mitglied von A ist und eine beliebige Formel φ für x gilt. Sie können das Schema wiederholt aufrufen, um es auf alle Ihre anzuwenden X ich , das letzte Set B gehört dir P was ⊥ sein kann, falls B=∅.
... aber aus Ihrer informellen Beschreibung in Ihrem ersten Absatz möchten Sie, dass "die Menge aller Bedingungen {Xi}, die für P erforderlich sind, wahr genug Informationen sind, damit ich P wiederherstellen kann", und später sprachen Sie auch von "maximal konsistent", was ist nicht wie in Ihrem Titel und wir brauchen weitere Klarstellung. Per Vollständigkeitssatz, wenn Ihr P am Anfang durch seine eindeutige Beschreibung immer wahr sein soll, können wir immer einen Beweis über seine Xi finden, nicht sicher, was Sie in diesem Fall mit Wiederherstellen meinen ... Übrigens, Russell hat ungefähr analysiert richtige/falsche eindeutige Beschreibungen im Allgemeinen...

Antworten (2)

Bis auf nachweisbare Äquivalenz lautet die Antwort ja!

Jede Theorie erster Ordnung kann einer syntaktischen Kategorie zugeordnet werden , wo Formeln φ ( X 1 , … X N ) entsprechen Unterobjekten eines Objekts X N (hier sollte man an denken X als "Grundsatz" eines "freien Modells" Ihrer Theorie. Dann die Formel φ ( X 1 , … , X N ) ist genau das Unterobjekt { ( X 1 , … , X N ) ∣ φ ( X 1 , … , X N ) } ⊆ X N . Das ist eine kleine Notlüge, aber moralisch korrekt).

Nun die (definierbaren) Unterobjekte von X N (bis auf beweisbare Äquivalenz) einen Verband bilden, und ϕ ≤ ψ passiert genau dann wenn ϕ ⊢ ψ ! Was sagt uns nun das Lemma von yoneda für dieses Gitter? Es sagt genau das ψ wird bis auf Isomorphie (d. h. bis auf beweisbare Äquivalenz) durch die Elemente unten bestimmt ψ .

So ψ ( X 1 , … , X N ) wird bis auf nachweisbare Gleichwertigkeit bestimmt durch

{ ϕ ( X 1 , … , X N ) ∣ ϕ ( X 1 , … , X N ) ⊢ ψ ( X 1 , … , X N ) }

Oder, wenn Sie möchten,

{ ϕ ( X 1 , … , X N ) ∣ ϕ ( X 1 , … , X N ) → ψ ( X 1 , … , X N ) }

seit ϕ ⊢ ψ impliziert ϕ → ψ ist das oberste Element des Gitters (True).

Für weitere Informationen könnten Sie hier die Vorlesungsunterlagen von Steve Awodey interessieren .

Ich hoffe das hilft ^_^

Gödels erster Unvollständigkeitssatz zeigt, dass eine bestimmte Aussage G, der Gödel-Satz von PA, in PA weder beweisbar noch widerlegbar ist. Nach dem Vollständigkeitssatz bedeutet dies, dass G in allen Nicht-Standardmodellen von PA falsch ist, während G im Standardmodell wahr ist N . So scheint eine Aussage, die durch alle ihre notwendigen Bedingungen definiert ist, bis auf logische Äquivalenz möglicherweise nicht eindeutig zu sein . Wie kann Ihre kategorische Logik das erklären?
@mohottnad "G ist in allen Nicht-Standardmodellen von PA falsch, während G im Standardmodell wahr ist". Nein, Sie verstehen den Unvollständigkeitssatz falsch. Jeder Satz, der im Standardmodell (einschließlich G) wahr ist, gilt auch in einigen Nicht-Standardmodellen. Aber wie auch immer, ich sehe keinen Zusammenhang zwischen Ihrem Kommentar und der Antwort von HallaSurvivor (die mir völlig richtig erscheint). Können Sie den Punkt verdeutlichen, den Sie zu machen versuchen?
@AlexKruckman danke für deine Kritik. Ja, Sie haben Recht, dass ich hätte sagen sollen: "G ist in einigen nicht standardmäßigen Modellen falsch", nicht "in allen nicht standardmäßigen Modellen". Allerdings ist G per Konstruktion eine Aussage, die sicherlich definitiv durch alle ihre notwendigen Bedingungen beschrieben wird (ist keine vage oder schlecht definierte oder undefinierbare Aussage/Satz). Nach dem, was ich aus der informellen Beschreibung von OP verstanden habe, ist er oder sie besorgt über die Einzigartigkeit des Wahrheitswerts einer solchen Aussage. Also habe ich nur ein Gegenbeispiel aufgeführt.
@HallaSurvivor: Ich glaube, Sie haben vielleicht die falsche Frage beantwortet. Das OP fragt nicht , ob die Menge aller Konsequenzen einer Aussage die Aussage bestimmt.
@AndrejBauer - Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was OP fragt, wenn nicht, was ich geantwortet habe. Wenn Sie eine eigene Antwort hinterlassen, könnte dies auch die Dinge für mich klären, und ich würde sie gerne positiv bewerten ^_^
@HallaSurvivor Ich glaube, Sie haben die Frage beantwortet, ob P wird bestimmt aus { X ich | X ich → P } , während ich gefragt habe, ob P wird bestimmt aus { X ich | P → X ich } . Ich habe nur sehr elementare Kenntnisse der Kategorientheorie, aber ist es vielleicht möglich, Ihre Argumentation umzukehren (dh: "durch das Lemma von Yoneda, ψ wird bis auf nachweisbare Äquivalenz durch obige Elemente bestimmt ψ ")?
@ Solarflare0 - ja, das gleiche Argument funktioniert für { X ich ∣ P → X ich } , oder während ich schrieb, { ϕ ∣ ψ → ϕ } . Der einzige Unterschied besteht darin, ob wir die kovariante oder die kontravariante Version des Yoneda-Lemmas verwenden.
Nun, das OP hat die Antwort akzeptiert. Aber sie sprachen nicht von der Menge aller Folgen von P . Sie sagten: eine Familie gegeben ( X ich ) ich so dass { P → X ich ∣ ich } maximal konsistent ist , ist P eindeutig bestimmt? Lassen Sie es mich so sagen: Warum erwähnt Ihre Antwort überhaupt keine maximale Konsistenz?

Ich mag die kategorietheoretische Perspektive in der Antwort von HallaSurvivor, aber lassen Sie mich eine "bodenständigere" Version desselben Arguments geben, die einigen Lesern helfen könnte.

Beheben Sie ein L -Satz P . Lassen N = { Q ∣ Q  ist ein  L -Satz und  P ⊢ Q } , die Menge von allem L -Sätze, die für notwendig sind P . Das behaupte ich P bis zur logischen Äquivalenz wiederhergestellt werden kann N . In der Tat, P ist bis auf logische Äquivalenz als Satz in charakterisiert N mit der Eigenschaft, dass es für jeden Satz in ausreichend ist N . Das heißt, durch die folgenden Eigenschaften: (1) X ∈ N , und (2) für alle Q ∈ N , X ⊢ Q .

Notieren Sie sich das zunächst P erfüllt (1) und (2). Für 1), P ⊢ P , So P ∈ N . Für (2), für alle Q ∈ N , P ⊢ Q per Definition von N .

Nun nehme an P ' erfüllt (1) und (2). Das behaupte ich P ' ist logisch äquivalent zu P . Durch (1), P ' ∈ N , So P ⊢ P ' . Und da P ∈ N , durch (2), P ' ⊢ P . So P Und P ' sind logisch äquivalent.

Ich glaube, dies beantwortet die Frage, wie Sie sie in Ihrem Titel und ersten Absatz formuliert haben. Leider macht der Rest von dem, was Sie geschrieben haben (insbesondere der "Versuch, die Frage zu präzisieren") für mich wenig Sinn. Hier einige klärende Fragen:

  • In der Titelfrage sprechen Sie alle Voraussetzungen an, die für erforderlich sind P . Aber in den späteren Absätzen sehen Sie sich eine willkürliche Reihe von Bedingungen an X ich die dafür notwendig sind P . Welchen meinst du?
  • Was genau meinst du mit "das Set { P → X ich } ich ∈ ICH ist maximal konsistent“? Ein Satz von Bedingungssätzen dieser Form wird niemals eine maximal konsistente (dh vollständige) Theorie sein, es sei denn P ist logisch gültig. Aber vielleicht meinten Sie maximal konsistent zwischen Sätzen dieser Form? Beachten Sie, dass (es sei denn P gültig ist), ist jede Menge von Sätzen dieser Form konsistent, da sie alle wahr sind, wenn P ist falsch.
  • Im nächsten Absatz tauschen Sie „the set { P → X ich } ich ∈ ICH ist maximal konsistent" für "die Menge { P → X ich } ich ∈ ICH gleichzeitig zufrieden ist.“ Wie Andrej Bauer in den Kommentaren anmerkt, gibt es noch eine andere Möglichkeit, wo P → X 1 Und P → X 2 gleichzeitig erfüllt sind, nämlich wann P ist widersprüchlich: ⊥ , oder X ≠ X .
Problem bezüglich der ersten erforderlichen Eigenschaft Ihres konstruierten Sets N oben, z. P besagt, dass P ist die Menge aller normalen Mengen (eine normale Menge ist kein Mitglied von sich selbst), und jede X ich gibt einfach an ich T H Element von P ist dann ein normaler Satz P erfüllt beide Eigenschaften Ihrer konstruierten Menge N Seit jeder X ich ist eine notwendige Folge von P . Aber nach Russells Paradoxon gibt es so etwas nicht P überhaupt, so dass Sie den Wahrheitswert nicht bestimmen können P bis auf logische Äquivalenz. Es scheint, dass Sie Ihr Verständnis einschränken müssen N wie das Axiomschema der Spezifikation von ZFC ...
@mohottnad Es tut mir leid, ich habe keine Ahnung, wovon du sprichst. P ist ein L -Satz, kein Satz. Für jede feste Sprache L , es gibt einen Satz S von allen L -Sätze, und es gibt eine "beweisbare Folgerungsbeziehung". ⊢ An S . Für eine feste P ∈ S , mein Satz N Ist { Q ∈ S ∣ P ⊢ Q } . Das ist nicht komplizierter, als das Set aufzuschreiben { N ∈ N ∣ 5 ≤ N } .
Thx für Ihr nahezu sofortiges Feedback und Ihre Gegenkritik. Ich sehe kein Problem darin, eine zu konstruieren L -Satz P unter Verwendung der folgenden unendlichen Konjunktion Normalform " X 1 ∧ X 2 . . . ∧ X ich ∧ . . . “, wo jeder X ich ist ein L -Satz sagt: „Dieser Satz beweist eine bestimmte Menge Y ich so konstruiert ... ist normal. einen Beweis für den entsprechenden Satz zu finden (an L -Satz)...
@mohottnad Mein Geheimnis ist, dass ich Benachrichtigungen auf meinem Handy bekomme, wenn jemand kommentiert! Ich fürchte, ich verstehe deine Sätze nicht X ich bedeuten sollen oder warum irgendetwas davon für die vorliegende Frage relevant ist. Ich habe einen sehr einfachen Beweis gegeben - wenn Sie denken, dass er nicht korrekt ist, wäre es produktiver, auf eine bestimmte Stelle im Beweis zu verweisen, an der Sie glauben, dass er schief geht, anstatt zu versuchen, das ziemlich komplizierte Gegenbeispiel zu beschreiben, das Sie im Sinn haben. Außerdem würde ich hier die Mengenlehre vergessen und nur an die Aussagenlogik denken, was ausreicht, um meine Antwort zu verstehen.
Ah, ich bin mir nicht sicher, ob Ihr Geheimnis gut oder schlecht für Sie ist (es gibt keine Definition von gut, schlecht oder dumm in Mathe, also wird es hier keinen formellen Beweis für Sie persönlich geben.), und ich bin mir nicht sicher Wenn Sie die typtheoretische Interpretation (Modell) dieses Problems mögen ... Lassen Sie mich zu einem anderen möglichen Zweifel über Ihre selbstbewusste ausreichende Schlussfolgerung übergehen, um festzustellen P 's Wahrheitswert allein aus seinen notwendigen Bedingungen, die nach ontologischen Argumenten der Existenz Gottes riechen (Leibniz' Theodizee und sein Prinzip des zureichenden Grundes?).
Formal haben wir nach Goedel N⊨Con(PA) & PA⊬Con(PA), also sind aus dem intuitiven Standard-PA-Modell N alle unsere Grundschulrechenergebnisse notwendigerweise wahr (nicht umsonst), aber der Satz Con(PA) kann es immer noch nicht bis zur logischen Äquivalenz behoben werden ... Beachten Sie auch das von OP verwendete Beispiel X 1 ≡"x ist gerade", X 2 ≡ "x ist Primzahl", also denken sie eindeutig in Bezug auf die elementare Mengenbildung (was möglicherweise später zu Verwirrung bei maximaler Konsistenz führt), nicht in Ihren reinen Propositionsfolgerungen in einem metaformalen System. Ich finde dieses allgemeine Problem einfach interessant und kann aus vielen Blickwinkeln diskutiert werden ...
Hier ist ein weiteres einfaches Gegenbeispiel. Lassen X 1 ≡"x ist gerade", X 2 ≡"x ist quadratisch", dann P ≡"x ist 4 oder 16 oder...". Lassen P ' = X 1 ∧ X 2 ∧ W ≡"x ist 4", wobei W ≡"x ist kleiner als 10", dann P ' ⊢ X ich wo i=1,2 und P ' ⊢ P . Allerdings ist P ⊬ P', wie in Ihrem Beweis behauptet, und eindeutig sind P und P' nicht logisch äquivalent. Der Fehler in Ihrem Beweis ist, nachdem Sie zuerst einen Satz korrigiert haben P um Ihr Set zu bauen N , Sie beschränken einfach alle konkurrierenden P' innerhalb N , aber mein obiges einfaches Beispiel P' ist eindeutig kein Mitglied von Ihnen N . Die Verwendung des Axiomschemas der Spezifikation von ZFC scheint der klarste Weg zur Spezifikation zu sein P ..
@mohottnad Du hast meinen Beweis falsch gelesen. Mein Anspruch das P Und P ' logisch äquivalent sind, ist unter den von mir genannten Voraussetzungen (1) und (2). Beachten Sie, dass (1) sagt P ' ∈ N , dh das P ⊢ P ' . Ihre Wahl von P ' verstößt gegen diese Annahme. Außerdem habe ich keine Ahnung, wie Ihrer Meinung nach das Axiomschema der Spezifikation in ZFC für die Spezifikation eines Satzes oder einer Formel in irgendeiner Logik relevant ist. Wenn Sie der Meinung sind, dass Sie die Frage des OP besser angehen, ist es an dieser Stelle meiner Meinung nach konstruktiver, wenn Sie Ihre eigene Antwort schreiben, anstatt meine weiter zu kommentieren.
Ist eine mathematische Aussage durch alle ihre notwendigen Bedingungen eindeutig bestimmt?
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