Einführung in die Modelltheorie

Ich lese dieses Buch und habe mir vorläufig die Einführung in die Modelltheorie angesehen, die im Anhang B enthalten ist. 625 (643 des pdf) schreiben die Autoren:

Wenn M ⊆ N , dann die Einschlüsse A → A : M S → N S eine Einbettung ergeben M → N , genannt die natürliche Aufnahme von M hinein N . Umgekehrt ein Morphismus H : M → N ergibt eine Unterstruktur H ( M ) von N dessen zugrunde liegende Art S Ist H S ( M S )

Die Definitionen eines Morphismus und einer Einbettung, die sie verwenden, werden im Text direkt über dem Zitat bereitgestellt.

Meine Fragen sind:

  1. Was versteht man unter „Einschlüsse A → A : M S → N S “? Insbesondere sehe ich nirgendwo im Text eine Definition einer Inklusion . Meinen sie nur eine Zuordnung? Wenn ja, da es ist A → A ist es nur eine Identitätszuordnung? Aber warum heißt es dann nicht so?

  2. Woher kommt "umgekehrt"? Ich sehe nicht, wie die folgende Aussage eine Umkehrung des vorhergehenden Satzes ist.

  3. Warum ist der letzte Satz wahr? Wie man eine solche Unterkonstruktion konstruiert, ist für mich nicht sofort ersichtlich.

M ist eine Teilmenge von N ; somit bildet die „inclusion map“ jedes Element ab A von M In A selbst als Element von N .

Antworten (1)

  1. Die Notation M ⊆ N liest " M ist darin enthalten N " (oder " M ist eine Teilmenge von N "), und es bedeutet, dass jedes Element von M S ist ein Element von N S , für jede Sorte S . Die Inklusionskarte gibt die Identitätsfunktion ab M S Zu N S . Zum Beispiel, wenn M ist die Vernunft, und N die Realzahlen sind, dann sendet die Inklusionskarte jede rationale Zahl P Q zur reellen Zahl P Q .

    Meine Vermutung, warum wir es nicht Identitätskarte nennen, ist, dass wir normalerweise davon ausgehen, dass die Identitätskarte dieselbe Domäne und denselben Bereich hat, während bei einer Einschlusskarte der Bereich (oft) eine Obermenge der Domäne ist.

  2. Wenn wir eine Inklusion haben, dann erhalten wir eine (kanonische) Einbettung in Form der Inklusionskarte. Umgekehrt, wenn wir einen Morphismus haben, dann erhalten wir eine Unterstruktur, indem wir das Bild unseres Morphismus als Teilmenge des Bereichs betrachten. Einschlüsse führen zu Morphismen (eigentlich Einbettungen), umgekehrt führen Morphismen zu Einschlüssen.

  3. Für jede Sorte S , der Morphismus H Art bewahrt, also das Bild H S [ M S ] ist darin enthalten N S . Außerdem, H ist ein Morphismus, bewahrt also Beziehungen und Funktionen. Durch Induktion über die Komplexität von L -Formeln können Sie zeigen, dass die Reichweite von H ist eine Unterstruktur (im Grunde, wegen der Bewahrung von Beziehungen und Funktionen, das Bild H [ M ] benimmt sich wie M , daher ist es eine Struktur, aber H [ M ] ist auch eine Teilmenge von N , es ist also eine Unterstruktur von N ).

    Wahrscheinlich kennen Sie dies bereits aus einer eher angewandten Umgebung. Nehmen wir zum Beispiel einen Gruppenhomomorphismus H : G → F , Dann H Bewahre die Identität (die eine Konstante ist, oder 0 -ary-Funktion) und die Gruppenoperationen (die 2 -ary-Funktion für die Gruppenaddition, die 1 -ary-Funktion für die additive Inverse), damit können wir beweisen, dass das Bild H [ G ] ist eine Gruppe. Aber es ist auch im Sortiment enthalten F , somit H [ G ] ist eine Untergruppe von F .

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