Seien P und Q Formeln. Würden Sachen wie (P∧¬P)⊨Q(P∧¬P)⊨Q(P \wedge \neg P) \models Q Sinn machen?

Question

Seien P und Q Formeln. Würden Sachen wie (P∧¬P)⊨Q(P∧¬P)⊨Q(P \wedge \neg P) \models Q Sinn machen?

Logik
Mathematik
Modelltheorie
Logik erster Ordnung
Aussagenkalkül

Antonius

Ich gestehe, ich bin gerade total verwirrt. Und ich kämpfe immer noch damit, den zugrunde liegenden Unterschied zwischen der normalen materiellen Implikation, $\Rightarrow$ , und der Begriff der semantischen Konsequenz, $\models$ .

Ich habe Sachen gesehen wie $(P \wedge \neg P) \models Q$ erscheinen in einem Buch, das ich gerade lese ( A First Course in Logic , von Shawn Hedman), aber am Ende des Tages habe ich mich gefragt, was der Unterschied zwischen materieller Implikation und semantischer Konsequenz ist. Ich meine, wirklich .

Wir alle kennen diesen Satz $(P \wedge \neg P) \Rightarrow Q$ ist eine Tautologie. Und im materiellen Sinne (nur in Wahrheitswerten und nicht im semantischen Zusammenhang der beiden Formeln P und Q zu denken) ist das für mich durchaus akzeptabel. Aber um Sachen zu schreiben wie $(P \wedge \neg P) \models Q$ sprengt mein gesamtes Verständnis für den Unterschied zwischen $\Rightarrow$ Und $\models$ direkt aus dem Fenster. Ich dachte, das doppelte Drehkreuzsymbol soll nur in einem Sinne verwendet werden, der mehr mit der zugrunde liegenden Bedeutung / Interpretation hinter den Sätzen zu tun hat? Wie, wenn wir sagen $P \models Q$ (wobei P und Q Sätze sind), würde es dann nicht bedeuten, dass wir eine klare logische Verbindung sehen können, die es uns erlaubt zu akzeptieren, dass Q aus P folgt?

In Worte übersetzt ist der Satz „Formel Q eine semantische Konsequenz von $P \wedge \neg P$ " ist mir unverständlich. Es hat nicht diesen logischen Zusammenhang, von dem ich dachte, dass er jede Verwendung des Doppeldrehkreuz-Symbols begleiten muss (z. B. kann ich leicht akzeptieren $(P \wedge Q) \models P$ , weil die logische Verbindung da ist, schließlich wenn gesagt wird, dass P und Q beide wahr sind, dann muss logischerweise P wahr sein). Wenn keine logische Verbindung für die Verwendung von erforderlich ist $\models$ , wie unterscheidet es sich dann von der normalen materiellen Implikation?

Es fühlt sich an, als würde mir etwas Entscheidendes fehlen, wie ein größeres Bild oder eine breitere Verallgemeinerung dessen, was das Symbol des doppelten Drehkreuzes darstellt.

Maxim Ramzi

P ⊨ Q

$P\models Q$ bedeutet, dass jedes Modell zufriedenstellend ist

P

$P$ befriedigt auch

Q

$Q$ . Mit einem Vollständigkeits-/Korrektheitssatz und einem Abzugssatz ist dies dasselbe wie

⊢ P ⟹ Q

$\vdash P\implies Q$ . Einer der Punkte von

P \land \neg P ⊨ Q

$P\land \neg P\models Q$ (was auch intuitionistisch gilt, wo

⟹

$\implies$ ist nicht materiell) ist, dass ein Widerspruch als "alles" und nicht als "falsch" gelesen werden sollte.

Antonius

@Max Hallo. Ich schätze die Antwort. Aber ich bin immer noch verwirrt, um ehrlich zu sein. Kann man das laienhafter erklären? Wie interpretiert man

(P \land \neg P) ⊨ Q

$(P \wedge \neg P) \models Q$ in einer Weise, die mit dem Konzept der "semantischen Konsequenz" kollidiert?

Maxim Ramzi

Also

Q

$Q$ ist eine semantische Konsequenz aus

P \land \neg P

$P\land \neg P$ denn in jeder möglichkeit in der

P \land \neg P

$P\land \neg P$ gilt (es gibt keine solche Möglichkeit !) ,

Q

$Q$ hält auch. Bei der Semantik geht es um mögliche Welten, deshalb nennt man das semantische Implikation

Andreas Blas

Soweit ich das beurteilen kann, kommt Ihre Schwierigkeit von dem Teil Ihrer Frage, der besagt, dass "wir eine klare logische Verbindung erkennen können". Das ist viel zu vage, um Mathematik zu sein. Wenn Sie mit "klarer logischer Verbindung" etwas meinen, das Wahrheitstabellen enthält, dann sind Sie wahrscheinlich in Ordnung, weil Sie mit Wahrheitstabellen schließen können

Q

$Q$ aus

P \land \neg P

$P\land\neg P$ . Aber wenn Sie etwas Vageres als Wahrheitstabellen meinen, dann müssen Sie Ihr Verständnis von revidieren

⊨

$\models$ .

Doug Spoonwood

@Max "Mit einem Vollständigkeits- / Korrektheitssatz und einem Abzugssatz ist dies dasselbe wie ⊢P⟹Q." Nein, Ableitbarkeit bedeutet nicht Gleichheit.

Maxim Ramzi

@DougSpoonwood Es sollte jedem klar sein, der meinen Kommentar liest, dass "gleich wie" hier ein Sprachmissbrauch ist, der "äquivalent zu" bedeutet. Bitte streiten Sie sich nicht über solche Details.

Doug Spoonwood

@Max Nein, deine Aussagen sind nicht logisch äquivalent.

⊢

$\vdash$ bezieht sich auf syntaktische Beweisbarkeit, was bedeutet, dass man buchstäblich alles produzieren kann, was auf der rechten Seite von steht

⊢

$\vdash$ . Man kann buchstäblich keine Formel der Form P⟹Q erzeugen, da keine wohlgeformte Formel diese Form hat. Außerdem ist P|=Q metasprachlich und kürzt {P}|=Q ab, während (P⟹Q) objektsprachlich ist. Objektsprachen- und Metasprachenanweisungen sind im Allgemeinen nicht äquivalent. Üblicherweise haben metasprachliche Aussagen mehr Aussagekraft, während objektsprachliche Aussagen klarer in ihrer Aussagekraft sind.

Maxim Ramzi

@DougSpoonwood, das sagst du mir also

P ⊨ Q

$P\models Q$ Und

⊢ (P ⟹ Q)

$\vdash (P\implies Q)$ sind nicht logisch äquivalent mit einem Vollständigkeits- / Korrektheitssatz und einem Abzugssatz ? (Auch hier handelt es sich bei dem Problem mit den Klammern um unnötiges Gezänk über ein technisch uninteressantes Problem.)

Doug Spoonwood

@Max Ja, sie sind nur unter den von Ihnen angegebenen Bedingungen nicht logisch äquivalent. Sie würden modus ponens als Schlussfolgerungsregel benötigen. Und es gibt Systeme der Aussagenlogik ohne eine solche Schlußregel. Auch die logische Äquivalenz ist ein objektlinguistisches Konzept in Bezug auf berechenbare Wahrheitswerte. Ich habe keinen Grund, es als metasprachlichen Begriff anzunehmen.

Antonius

@Max Das ist genau die Schwierigkeit, vor der ich gerade stehe. Wenn wir akzeptieren würden, was Sie in Ihrem zweiten Kommentar gesagt haben, welcher Unterschied besteht dann wirklich zwischen?

⊨

$\models$ Und

\Rightarrow

$\Rightarrow$ ? Das ist nur so gesagt

P \land \neg P

$P \wedge \neg P$ materiell impliziert

Q

$Q$ , nicht wahr?

Antonius

@Max Die EINZIGE Möglichkeit, wie mein verwirrter Verstand an dieser Stelle mit allem klarkommen kann, ist die Verwendung von

⊨

$\models$ (z.B,

P ⊨ Q

$P \models Q$ ) ist, dies AUSDRÜCKLICH zu erklären

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ ist eine Tautologie. Wie können wir zusammengesetzte Aussagen wie machen

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ überall, aber die materielle Implikation kann immer noch falsch sein. Und das

⊨

$\models$ ist nur eine Art zu sagen, dass die materielle Implikation eine Tautologie ist? Ist das der richtige Weg, das alles zu verstehen?

Antonius

@AndreasBlass Ja. Ich muss definitiv mein Verständnis von revidieren

⊨

$\models$ 's Verwendung. Tatsächlich weiß ich im Moment nicht einmal mehr, was ich weiß. Ich stimme Ihnen zu, dass „eindeutiger logischer Zusammenhang“ für die Mathematik viel zu vage und ungenau ist. Aber leider kann ich es nur so ausdrücken. Vielleicht sollte ich klarstellen, was ich damit meinte. Die Sache ist, Aussagen wie

(P \land Q) ⊨ P

$(P \wedge Q) \models P$ ist für mich semantisch nachvollziehbar, weil wir die Wahrheit begründen können

P

$P$ logisch. Wir können auf die Wahrheit von P schließen, indem wir die Wahrheit von verwenden

(P \land Q)

$(P \wedge Q)$ ... (fortgesetzt werden)

Antonius

Fortsetzung von oben... @AndreasBlass Aber wie machen wir das denn

(P \land \neg P) ⊨ Q

$(P \wedge \neg P) \models Q$ ? Wir können die Wahrheit von Q nicht basierend darauf begründen (oder ableiten).

P \land \neg P

$P \wedge \neg P$ (oder können wir??). Ich meine, da gibt es einfach keine Verbindung. Alles, was wir wissen

(P \land \neg P)

$(P \wedge \neg P)$ ist das eine Absurdität, und das war's? Da geht gar nichts

Q

$Q$ .Das meine ich mit 'klarer logischer Verbindung'. Ich muss mich für die ungenaue Verwendung von Begriffen hier entschuldigen, ich habe sehr wenig Hintergrundwissen in Logik. Tatsächlich ist dies mein erster Versuch.

Antonius

@AndreasBlass Nachdem ich all Ihre konstruktiven Kommentare gelesen habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass

P ⊨ Q

$P \models Q$ ist eine Möglichkeit, dies ausdrücklich zu sagen

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ ist eine tautologische Aussage. Was ich damit meine ist, dass wir Sätze wie haben können

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ , aber dieser Satz kann immer noch eine Unwahrheit sein. Aber wenn wir sagen

P ⊨ Q

$P \models Q$ , dann gibt es überhaupt keine Chance

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ kann falsch sein? (dass es eine Tautologie ist) Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Oder ist das nur eine weitere Fantasie, die mein verwirrter Verstand heraufbeschworen hat?

Maxim Ramzi

@DougSpoonwood: mhm nein, hier ist kein Modus Ponens erforderlich. Aber egal, es ist klar, dass du nicht verstehst, worum es geht, und um diese Kommentare nicht zu verschmutzen, werde ich aufhören, dir zu antworten.

Maxim Ramzi

Anthony: Der Punkt ist, dass "

P ⟹ Q

$P\implies Q$ " macht keinen Sinn, weil es keine Interpretation für gibt

P

$P$ , noch für

Q

$Q$ . Also sagst du

P ⊨ Q

$P\models Q$ zu sagen, dass dies nicht von der Interpretation abhängt. Und in der Tat ist dies mit allen von mir erwähnten Theoremen äquivalent zu

⊨ P ⟹ Q

$\models P\implies Q$ was genau das bedeutet

P ⟹ Q

$P\implies Q$ ist eine Tautologie. Aber was willst du sonst damit sagen? Wie Andres Blass erwähnte, ist der Begriff der „logischen Verbindung“ nicht mathematisch.

Doug Spoonwood

@Max Modus ponens wird normalerweise benötigt, um zu beweisen, dass "If |-(P⟹Q), then P|-Q."

Doug Spoonwood

@Anthony "Aber wie machen wir das für (P∧¬P)⊨Q? Wir können die Wahrheit von Q nicht basierend auf P∧¬P begründen (oder ableiten) (oder können wir??)." In Soundsystemen ist es möglich, (P∧¬P)|=Q zu berechnen. So etwas wie das Folgende funktioniert normalerweise. Wir nehmen an (P∧¬P). Dann vermuten wir

\neg

$\lnot$ F. Dann erhalten wir einen Widerspruch aus der ersten Annahme. Also haben wir (

\neg

$\lnot$ Q

\to

$\rightarrow$ (P∧¬P)) oder (

\neg

$\lnot$ Q

⊢

$\vdash$ (P∧¬P)). Somit entlasten wir

\neg

$\lnot$ Q und haben Q unter der Annahme von (P∧¬P). Also (P∧¬P)

⊢

$\vdash$ Q. Nach Solidität, (P∧¬P)|=Q.

Antonius

@DougSpoonwood Ich schätze die Antwort. Aber ich bin neu in diesem Thema und habe keinen ausreichenden Hintergrund in formaler Mathematik, um die vollständigen Auswirkungen von Konzepten wie Solidität und Vollständigkeit zu kennen. Aber ich werde sie zuerst lesen, bevor ich zurückkomme und Ihren Kommentar noch einmal lese. Aber in der Zwischenzeit wäre es sehr hilfreich, wenn Sie Ihre Antwort in völlig laienhaften Worten ausdrücken könnten.

Mauro ALLEGRANZA

Das grundlegende Problem ist, dass wir möglicherweise logische Sprachen ohne den bedingten Konnektor haben (

\to, \Rightarrow

$\to, \Rightarrow$ ): wir können verwenden

\land, \neg

$\land, \lnot$ oder

\lor, \neg

$\lor, \lnot$ und sie reichen aus, um sowohl Argumente als auch das Konzept der Tautologie zu formalisieren . Aber das Konzept der logischen Konsequenz :

⊨

$\vDash$ ändert sich nicht .

Mauro ALLEGRANZA

"Das Doppeldrehkreuz-Symbol soll nur in einem Sinne verwendet werden, der mehr mit der zugrunde liegenden Bedeutung/Interpretation hinter den Sätzen zu tun hat?" JA... aber in der Aussagenlogik ist die einzige "Bedeutung" eines Satzes sein WAHRHEITSWERT.

Antworten (1)

Seien P und Q Formeln. Würden Sachen wie (P∧¬P)⊨Q(P∧¬P)⊨Q(P \wedge \neg P) \models Q Sinn machen?

$P\models Q$ bedeutet, dass jedes Modell zufriedenstellend ist $P$ befriedigt auch $Q$ . Mit einem Vollständigkeits-/Korrektheitssatz und einem Abzugssatz ist dies dasselbe wie $\vdash P\implies Q$ . Einer der Punkte von $P\land \neg P\models Q$ (was auch intuitionistisch gilt, wo $\implies$ ist nicht materiell) ist, dass ein Widerspruch als "alles" und nicht als "falsch" gelesen werden sollte.
@Max Hallo. Ich schätze die Antwort. Aber ich bin immer noch verwirrt, um ehrlich zu sein. Kann man das laienhafter erklären? Wie interpretiert man $(P \wedge \neg P) \models Q$ in einer Weise, die mit dem Konzept der "semantischen Konsequenz" kollidiert?
Also $Q$ ist eine semantische Konsequenz aus $P\land \neg P$ denn in jeder möglichkeit in der $P\land \neg P$ gilt (es gibt keine solche Möglichkeit !) , $Q$ hält auch. Bei der Semantik geht es um mögliche Welten, deshalb nennt man das semantische Implikation
Soweit ich das beurteilen kann, kommt Ihre Schwierigkeit von dem Teil Ihrer Frage, der besagt, dass "wir eine klare logische Verbindung erkennen können". Das ist viel zu vage, um Mathematik zu sein. Wenn Sie mit "klarer logischer Verbindung" etwas meinen, das Wahrheitstabellen enthält, dann sind Sie wahrscheinlich in Ordnung, weil Sie mit Wahrheitstabellen schließen können $Q$ aus $P\land\neg P$ . Aber wenn Sie etwas Vageres als Wahrheitstabellen meinen, dann müssen Sie Ihr Verständnis von revidieren $\models$ .
@Max "Mit einem Vollständigkeits- / Korrektheitssatz und einem Abzugssatz ist dies dasselbe wie ⊢P⟹Q." Nein, Ableitbarkeit bedeutet nicht Gleichheit.
@DougSpoonwood Es sollte jedem klar sein, der meinen Kommentar liest, dass "gleich wie" hier ein Sprachmissbrauch ist, der "äquivalent zu" bedeutet. Bitte streiten Sie sich nicht über solche Details.
@Max Nein, deine Aussagen sind nicht logisch äquivalent. $\vdash$ bezieht sich auf syntaktische Beweisbarkeit, was bedeutet, dass man buchstäblich alles produzieren kann, was auf der rechten Seite von steht $\vdash$ . Man kann buchstäblich keine Formel der Form P⟹Q erzeugen, da keine wohlgeformte Formel diese Form hat. Außerdem ist P|=Q metasprachlich und kürzt {P}|=Q ab, während (P⟹Q) objektsprachlich ist. Objektsprachen- und Metasprachenanweisungen sind im Allgemeinen nicht äquivalent. Üblicherweise haben metasprachliche Aussagen mehr Aussagekraft, während objektsprachliche Aussagen klarer in ihrer Aussagekraft sind.
@DougSpoonwood, das sagst du mir also $P\models Q$ Und $\vdash (P\implies Q)$ sind nicht logisch äquivalent mit einem Vollständigkeits- / Korrektheitssatz und einem Abzugssatz ? (Auch hier handelt es sich bei dem Problem mit den Klammern um unnötiges Gezänk über ein technisch uninteressantes Problem.)
@Max Ja, sie sind nur unter den von Ihnen angegebenen Bedingungen nicht logisch äquivalent. Sie würden modus ponens als Schlussfolgerungsregel benötigen. Und es gibt Systeme der Aussagenlogik ohne eine solche Schlußregel. Auch die logische Äquivalenz ist ein objektlinguistisches Konzept in Bezug auf berechenbare Wahrheitswerte. Ich habe keinen Grund, es als metasprachlichen Begriff anzunehmen.
@Max Das ist genau die Schwierigkeit, vor der ich gerade stehe. Wenn wir akzeptieren würden, was Sie in Ihrem zweiten Kommentar gesagt haben, welcher Unterschied besteht dann wirklich zwischen? $\models$ Und $\Rightarrow$ ? Das ist nur so gesagt $P \wedge \neg P$ materiell impliziert $Q$ , nicht wahr?
@Max Die EINZIGE Möglichkeit, wie mein verwirrter Verstand an dieser Stelle mit allem klarkommen kann, ist die Verwendung von $\models$ (z.B, $P \models Q$ ) ist, dies AUSDRÜCKLICH zu erklären $P \Rightarrow Q$ ist eine Tautologie. Wie können wir zusammengesetzte Aussagen wie machen $P \Rightarrow Q$ überall, aber die materielle Implikation kann immer noch falsch sein. Und das $\models$ ist nur eine Art zu sagen, dass die materielle Implikation eine Tautologie ist? Ist das der richtige Weg, das alles zu verstehen?
@AndreasBlass Ja. Ich muss definitiv mein Verständnis von revidieren $\models$ 's Verwendung. Tatsächlich weiß ich im Moment nicht einmal mehr, was ich weiß. Ich stimme Ihnen zu, dass „eindeutiger logischer Zusammenhang“ für die Mathematik viel zu vage und ungenau ist. Aber leider kann ich es nur so ausdrücken. Vielleicht sollte ich klarstellen, was ich damit meinte. Die Sache ist, Aussagen wie $(P \wedge Q) \models P$ ist für mich semantisch nachvollziehbar, weil wir die Wahrheit begründen können $P$ logisch. Wir können auf die Wahrheit von P schließen, indem wir die Wahrheit von verwenden $(P \wedge Q)$ ... (fortgesetzt werden)
Fortsetzung von oben... @AndreasBlass Aber wie machen wir das denn $(P \wedge \neg P) \models Q$ ? Wir können die Wahrheit von Q nicht basierend darauf begründen (oder ableiten). $P \wedge \neg P$ (oder können wir??). Ich meine, da gibt es einfach keine Verbindung. Alles, was wir wissen $(P \wedge \neg P)$ ist das eine Absurdität, und das war's? Da geht gar nichts $Q$ .Das meine ich mit 'klarer logischer Verbindung'. Ich muss mich für die ungenaue Verwendung von Begriffen hier entschuldigen, ich habe sehr wenig Hintergrundwissen in Logik. Tatsächlich ist dies mein erster Versuch.
@AndreasBlass Nachdem ich all Ihre konstruktiven Kommentare gelesen habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass $P \models Q$ ist eine Möglichkeit, dies ausdrücklich zu sagen $P \Rightarrow Q$ ist eine tautologische Aussage. Was ich damit meine ist, dass wir Sätze wie haben können $P \Rightarrow Q$ , aber dieser Satz kann immer noch eine Unwahrheit sein. Aber wenn wir sagen $P \models Q$ , dann gibt es überhaupt keine Chance $P \Rightarrow Q$ kann falsch sein? (dass es eine Tautologie ist) Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Oder ist das nur eine weitere Fantasie, die mein verwirrter Verstand heraufbeschworen hat?
@DougSpoonwood: mhm nein, hier ist kein Modus Ponens erforderlich. Aber egal, es ist klar, dass du nicht verstehst, worum es geht, und um diese Kommentare nicht zu verschmutzen, werde ich aufhören, dir zu antworten.
Anthony: Der Punkt ist, dass " $P\implies Q$ " macht keinen Sinn, weil es keine Interpretation für gibt $P$ , noch für $Q$ . Also sagst du $P\models Q$ zu sagen, dass dies nicht von der Interpretation abhängt. Und in der Tat ist dies mit allen von mir erwähnten Theoremen äquivalent zu $\models P\implies Q$ was genau das bedeutet $P\implies Q$ ist eine Tautologie. Aber was willst du sonst damit sagen? Wie Andres Blass erwähnte, ist der Begriff der „logischen Verbindung“ nicht mathematisch.
@Max Modus ponens wird normalerweise benötigt, um zu beweisen, dass "If |-(P⟹Q), then P|-Q."
@Anthony "Aber wie machen wir das für (P∧¬P)⊨Q? Wir können die Wahrheit von Q nicht basierend auf P∧¬P begründen (oder ableiten) (oder können wir??)." In Soundsystemen ist es möglich, (P∧¬P)|=Q zu berechnen. So etwas wie das Folgende funktioniert normalerweise. Wir nehmen an (P∧¬P). Dann vermuten wir $\lnot$ F. Dann erhalten wir einen Widerspruch aus der ersten Annahme. Also haben wir ( $\lnot$ Q $\rightarrow$ (P∧¬P)) oder ( $\lnot$ Q $\vdash$ (P∧¬P)). Somit entlasten wir $\lnot$ Q und haben Q unter der Annahme von (P∧¬P). Also (P∧¬P) $\vdash$ Q. Nach Solidität, (P∧¬P)|=Q.
@DougSpoonwood Ich schätze die Antwort. Aber ich bin neu in diesem Thema und habe keinen ausreichenden Hintergrund in formaler Mathematik, um die vollständigen Auswirkungen von Konzepten wie Solidität und Vollständigkeit zu kennen. Aber ich werde sie zuerst lesen, bevor ich zurückkomme und Ihren Kommentar noch einmal lese. Aber in der Zwischenzeit wäre es sehr hilfreich, wenn Sie Ihre Antwort in völlig laienhaften Worten ausdrücken könnten.
Das grundlegende Problem ist, dass wir möglicherweise logische Sprachen ohne den bedingten Konnektor haben ( $\to, \Rightarrow$ ): wir können verwenden $\land, \lnot$ oder $\lor, \lnot$ und sie reichen aus, um sowohl Argumente als auch das Konzept der Tautologie zu formalisieren . Aber das Konzept der logischen Konsequenz : $\vDash$ ändert sich nicht .
"Das Doppeldrehkreuz-Symbol soll nur in einem Sinne verwendet werden, der mehr mit der zugrunde liegenden Bedeutung/Interpretation hinter den Sätzen zu tun hat?" JA... aber in der Aussagenlogik ist die einzige "Bedeutung" eines Satzes sein WAHRHEITSWERT.

Doug Spoonwood · Answer 1

Doug Spoonwood

"Wir alle wissen, dass der Satz (P∧¬P)⇒Q eine Tautologie ist."

Ich weiß das sicher nicht und schnappe nach Luft, wenn ich solche Aussagen sehe. Wer das behauptet, liegt ebenfalls schlichtweg falsch. Warum die Dinge so funktionieren, hilft, die Dinge zu beleuchten.

Zu sagen, dass etwas eine Tautologie ist, bedeutet, dass etwas eine Folge von Symbolen auf Objektebene ist. Wenn Sie Ihre Definition einer wohlgeformten Formel überprüfen, oder was auch immer für einen äquivalenten Begriff verwendet wird, ist (P∧¬P)⇒Q nicht wohlgeformt. Somit ist (P∧¬P)⇒Q keine Tautologie, da eine Tautologie per Definition eine wohlgeformte Formel ist. ((P∧¬P)⇒Q) ist eine Tautologie.

Andererseits ist (P∧¬P)⊨Q ein metasprachliches Konstrukt. Es ist in der Objektsprache nicht wohlgeformt, und da die Stellenzahl des Prädikats |= zu variieren scheint, gibt es möglicherweise keine entsprechende wohlgeformte Formel (wenn auch vielleicht nicht). Außerdem ist |= ein Prädikat, während ((P∧¬P)⇒Q) keine Prädikate hat.

Der Unterschied könnte auch durch einen Blick auf andere Verwendungen von |= verdeutlicht werden. Zum Beispiel denke ich, dass Sie zustimmen, dass "{p, (p⇒q)} |= q" Sinn macht. Nehmen wir an, dass sich |= nicht von ⇒ unterscheidet. Dann unterscheidet sich "{p, (p⇒q)} |= q" nicht von "{p, (p⇒q)} ⇒ q". Es gibt mindestens drei Probleme,

"{p, (p⇒q)} ⇒ q" ist nicht wohlgeformt, da alle wohlgeformten formalen Implikationen mit einem '(' beginnen und mit einem ')' enden.
q ist ein Satz, aber was wir auf der linken Seite des Pfeils haben, ist eine Menge. Sätze von Sätzen sind aber keine Sätze. Sätze sind auch keine Mengen von Sätzen. Also, noch einmal, "{p, (p⇒q)} ⇒ q" ist nicht wohlgeformt, und es ist nicht einmal ersichtlich, wie man daraus eine wohlgeformte Formel macht, oder sogar notwendigerweise den Fall, dass daraus a gemacht werden kann wohlgeformte Formel, denn es müssten sogar zwei verschiedene Arten von Entitäten unter ein Dach fallen ... sozusagen. Das klingt nach einem möglichen Kategoriefehler.

Pece hat auch kommentiert:

"... ⊨ ist eine Beziehung zwischen endlichen Folgen von wffs links und wff rechts, während ⟹ ein binäres Bindeglied in der Sprache ist, die zum Konstruieren von Formeln verwendet wird."

Maxim Ramzi

Gezänk über Klammern ist hier wirklich nicht relevant. Außerdem behauptet das niemand

⊨

$\models$ ist das gleiche wie

⟹

$\implies$ Hier. Der OP fragt was

⊨

$\models$ ist, warum es semantische Konsequenz genannt wird, wie es sich von materieller Implikation unterscheidet, wie ein Gefühl der "logischen Verbindung" erreicht wird: Das hat nichts mit Ihrer Antwort zu tun

Doug Spoonwood

@Max Es ist kein Gezänk. Ohne Klammern kann es keine gültige Regel der einheitlichen Substitution geben. Diese Regel erweist sich als wesentlich für axiomatische Systeme, die nur Axiome und Folgerungsregeln haben. |= ist sicherlich ein Symbol der Metasprache, während ⟹ ein Symbol der Objektsprache ist.

Dan Christensen

(p \land \neg p) ⟹ q

$(p \land \neg p) \implies q$ ist eine Tautologie. Siehe die Wahrheitstabelle unter wolframalpha.com/input/?i=truth+table+(p+and+~p)+%3D%3E+q

Doug Spoonwood

@DanChristensen Nein, (p∧¬p)⟹q ist keine Tautologie. Jede Tautologie ist eine wohlgeformte Formel, und (p∧¬p)⟹q ist keine wohlgeformte Formel.

Dan Christensen

Dann schreibst du besser an Wolfram, um, ähm... klarzustellen. Ebenso Stanford, dessen Online-Wahrheitstabellengenerator web.stanford.edu/class/cs103/tools/truth-table-tool zustimmt . Viel Glück dabei. (Hi, hi!)

Doug Spoonwood

@DanChristensen Wenn (p∧¬p)⟹q eine Tautologie ist, dann nach der Regel der einheitlichen Substitution und des Ersetzens von (p∧¬p)⟹q durch q, da Tautologien immer durch Variablen ersetzt werden können, dann (p∧¬p )⟹ (p∧¬p)⟹q ist eine Tautologie. Aber (p∧¬p)⟹ (p∧¬p)⟹q ist keine Tautologie. (p∧¬p)⟹ (p∧¬p)⟹q ist mehrdeutig. Auch der Text von wolframalpha ist nicht konsistent. (p und ~p) => q ist nicht dasselbe wie p

\land

$\land$

\neg

$\lnot$ p⟹q. Ein CS-Kurs? Warum konsultieren Sie keine mathematischen Logiktexte von Logikern? Hier sind Abschnitte von Elliot Mendelsohns Text:

Doug Spoonwood

@DanChristensen "Eine Aussageform, die immer wahr ist, unabhängig von den Wahrheitswerten ihrer Aussagebuchstaben, wird als Tautologie bezeichnet." Zur Definition eines „Erklärungsformulars“ siehe S. 13 hier: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/mendelson.pdf „Erklärungsform“ ist ein Synonym für „wohlgeformte Formel“. Eine Grundvoraussetzung für wohlgeformte Formeln besteht darin, dass sie es uns ermöglichen, Wahrheitswerte von Ausdrücken eindeutig zu berechnen.

Dan Christensen

In der klassischen Logik

(p \land \neg p) ⟹ q

$(p \land \neg p) \implies q$ ist ein wff und eine Tautologie.

Doug Spoonwood

@DanChristensen Nein, (p∧¬p)⟹q ist kein wff. Zumindest nicht nach einer brauchbaren Definition. Jeder wff kann aus den Bildungsregeln für einen wff als wff ausgewiesen werden. Da Sie also behaupten, dass (p∧¬p)⟹q ein wff ist, machen Sie weiter und demonstrieren Sie es als eins, indem Sie nur die Bildungsregeln verwenden. Sie haben den Anspruch geltend gemacht und somit liegt die Beweislast bei Ihnen.

Dan Christensen

Siehe en.wikipedia.org/wiki/… Ist dies keine „praktikable Definition“?

Doug Spoonwood

@DanChristensen Das ist praktikabel. Aus dieser Definition geht hervor, dass jede Zeichenfolge, bei der die primäre Verbindung (die primäre Verbindung wäre das erste Symbol, wenn die Zeichenfolge in eine Präfixnotation ohne Klammern übersetzt würde) binär ist, mit einem '(' beginnt und mit einem ' endet. '. Wenn also eine Zeichenfolge S nicht mit einem '(' beginnt und mit einem ')' endet und die primäre Verbindung binär ist, dann ist S kein wff. Also ist (p∧¬p)⟹q kein wff ('⟹' ist binär und die Primärverbindung). Also nochmal, wo ist deine Demonstration? Ich sehe es nicht.

Stück

@DougSpoonwood Eigentlich etabliert sich das meiste mathematische Lehrbuch über Modelltheorie oder Beweistheorie irgendwann

P B Q

$P \mathbin{\mathcal B} Q$ als syntaktischer Zucker z

(P B Q)

$(P \mathbin{\mathcal B} Q)$ wenn es nicht schädlich ist (mit

B

$\mathcal B$ ein binäres Bindeglied). Ersetzen Sie außerdem überall in der Frage von OP die "falsche" Aussage durch Ihre wohlgeformte Variation, und Ihre Antwort geht immer noch nicht auf die Frage ein. Am besten hättest du es einfach kommentieren können.

Doug Spoonwood

@Pece Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass das OP das Konzept einer wohlgeformten Formel nicht verstanden hat, als er es schrieb. Das OP schreibt: "Aber Dinge wie (P∧¬P)⊨Q zu schreiben, sprengt mein gesamtes Verständnis des Unterschieds zwischen ⇒ und ⊨ aus dem Fenster." Dies wäre jedoch nicht passiert, wenn die Unterscheidung zwischen wohlgeformten Formeln und anderen Zeichenfolgen für das OP klarer gewesen wäre. Ein Unterschied zwischen ⇒ und |= liegt darin, dass ⇒ in wohlgeformten Formeln der Aussagenlogik vorkommen kann und auch, während |= nicht vorkommen kann und auch nicht. Sogenannter "syntaktischer Zucker" macht solche Dinge WENIGER klar. Auch...

Doug Spoonwood

Das OP schreibt: „Ich habe Dinge wie (P∧¬P)⊨Q in einem Buch gesehen, das ich gerade lese (A First Course in Logic, von Shawn Hedman), aber am Ende des Tages war es so Ich frage mich, was der Unterschied zwischen materieller Implikation und semantischer Konsequenz ist. Ich meine, wirklich." Nun, in Wirklichkeit wird die materielle Implikation durch Symbole dargestellt, die in wohlgeformten Formeln der Aussagenlogik erscheinen können und auch vorkommen, während die semantische Konsequenz dies nicht kann und auch nicht tut. Somit ist die materielle Implikation in Wirklichkeit objektsprachlich und die semantische Konsequenz metasprachlich.

Stück

@DougSpoonwood Ich glaube, ich verstehe, was Sie in Ihrer Antwort sagen wollten, nämlich das

⊨

$\models$ ist eine Beziehung zwischen endlichen Folgen von wffs links und wff rechts, während

⟹

$\implies$ ist ein binäres Bindewort in der Sprache, die zum Erstellen von Formeln verwendet wird. Wenn ja, entferne ich zuerst meine -1, weil es in Ihrer Antwort nicht um Spitzfindigkeiten geht, aber das ist überhaupt nicht klar, dass dies die Botschaft ist, die Sie vermitteln möchten, aber zweitens und vor allem bin ich mir nicht einmal sicher, ob dies das Problem ist OP hat Probleme...

Doug Spoonwood

@DanChristensen Sie haben geschrieben, dass "((p∧¬q)⟹q) " eine Tautologie ist. Es ist nicht. Angenommen, q ist falsch und p ist wahr. Ich nehme an, das ist ein Tippfehler, aber ein kleines Symbol kann so einen Unterschied machen.

Dan Christensen

@DougSpoonwood Also

((p \land \neg p) ⟹ q)

$((p \land \neg p) \implies q)$ mit äußeren Klammern ist ein wff und eine Tautologie. Darum geht es hier - die äußeren Klammern??? OMG

Doug Spoonwood

@DanChristensen OMG, du glaubst, dass die äußeren Klammern keine Rolle spielen, und du schreibst Theorembeweissoftware???!! Betrachten Sie ein einfaches System mit nur -> als Bindeglied. Angenommen, x->y ist ein wff. Angenommen, das einzige Axiom ist (x->(y->x)). Angenommen, die einzige Schlußregel ist die einheitliche Substitution. Und nichts weiter. Lassen Sie uns x im Axiom durch a->b ersetzen. Dann haben wir (a->b->(y->a->b)). Aber nehmen wir an, wir kennen den Substitutionsverlauf nicht. Wir hätten keine Ahnung, wie man a->b->(y->a->b) berechnet. Hoppla! Was schief gelaufen ist? Wir hatten keine zwei kleinen Klammern in unserer Definition eines wff!