Benötigen Sie Hilfe bezüglich eines Beweises in First Order Logic

Ich versuche, die folgende Frage zu beweisen: Wir behaupten, dass für jeden Satz φ und jedes Modell M (des gleichen Vokabulars) und alle Variablenzuweisungen g und g′ in M ​​gilt, dass M, g |= φ genau dann gilt, wenn M, g ′ |= φ. Wir möchten, dass der Leser zwei Dinge tut. Zeigen Sie zunächst, dass die Behauptung falsch ist, wenn φ kein Satz, sondern eine Formel mit freien Variablen ist. Zeigen Sie zweitens, dass die Behauptung wahr ist, falls φ ein Satz ist.

Ich habe folgende Vorgehensweise probiert: Hier wird irgendein Satz gegeben$\phi$und jedes Modell$M$(des gleichen Vokabulars) und alle Variablenzuweisungen$g$Und$g'$In$M$Dann,$M,g\models \phi\; \iff \; M,g'\models \phi$. Wenn jetzt$\phi$eine Formel ist, dann aus den Definitionen der Erfüllung der Formel in einem Modell$M$der erste ist unten angegeben,\$M,g\models R(\tau_1,...,\tau_n) \iff (I_F^g(\tau_1),...,I_F^g(\tau_n)) \in F(R)$\$M,g'\models R(\tau_1,...,\tau_n') \iff (I_F^{g'}(\tau_1),...,I_F^{g'}(\tau_n)) \in F(R)$\

Aber hier$I_F^g(\tau_1) \neq I_F^{g'}(\tau_1)$weil der begriff$\tau_1$können unterschiedliche Werte für die Zuweisungen haben$g$Und$g'$für das Modell$M$. Daher$M,g\models \phi\; \iff \; M,g'\models \phi$ist nicht wahr, wenn$\phi$ist eine Formel. Die anderen Definitionen der Erfüllung der Formel müssen nicht überprüft werden, da sie alle Definitionen erfüllen muss.

Ich bin mir wirklich nicht sicher, ob ich in die richtige Richtung gehe. Es gibt sechs verschiedene Zufriedenheitsdefinitionen für eine Formel$\phi$. Kann mir jemand helfen, ob das der richtige Weg ist? Oder wie schreibe ich den Beweis?