Was bedeutet eine Implikation bei der Angabe der Lösungen einer Gleichung?

Beim Lösen einer Gleichung ist die zugrunde liegende Logikkette tatsächlich beteiligt$\color{#00F}\iff$("wenn und nur wenn") statt bloß$\color{#C00}\implies$(oder$\color{#C00}\impliedby$) zwischen den Schritten.

Diese Reversibilität stellt sicher, dass Fremdlösungen zurückgewiesen werden

$$\begin{pmatrix} \;\sqrt{x+3}=x+1 \color{#C00}\implies x+3=(x+1)^2 \color{#00F}\iff x=-2\;\text{or}\;1\;\\ \text{versus}\\ \sqrt{x+3}=x+1 \color{#00F}\iff x=1 \end{pmatrix}$$ und dass keine Lösung versehentlich verworfen wird $$\begin{pmatrix} x^2=x \color{#C00}\impliedby x=1\\ \text{versus}\\ \;x^2=x \color{#00F}\iff x=0\;\text{or}\;1\; \end{pmatrix}.$$

Da der Versuch, die Invertierbarkeit bei jedem Schritt sicherzustellen, mühsam und anfällig für Nachlässigkeit ist, ist es in der Praxis beim Lösen von Gleichungen am besten, einfach so in Vorwärtsrichtung zu arbeiten

$$\sqrt{x+3}=x+1 \color{#C00}\implies x+3=(x+1)^2 \color{#C00}\implies x=-2\;\text{or}\;1,$$ Dann werden die Kandidatenlösungen in die gegebene Gleichung eingesetzt, um alle überflüssigen herauszufiltern.

Hier ist eine visuellere Erklärung.

PS Es ist nicht lehrreich zu interpretieren$\implies$(Implikation) als materielle Bedingung$(\rightarrow)$oder zu interpretieren$\iff$(Äquivalenz) als materielle Zweibedingung$(\leftrightarrow).$In jedem Fall ist es nicht notwendig, sich beim Lösen von Gleichungen in die formale Logik zu vertiefen.

Ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, was die folgende Aussage bedeutet:

$$x^2=4 \implies x=2 \hspace{1em} \text{or} \hspace{1em} x=-2$$ Wie können wir diese Aussage mit einem materiellen Konditional in Verbindung bringen?

Für alle logischen Sätze$A$Und$B$,$A\implies B$bedeutet gerade, dass beides nicht der Fall ist$A$ist wahr und$B$ist falsch.

Hier ist die Wahrheitstabelle.

In deinem Beispiel hast du:

$A\equiv x^2=4$

$B\equiv x=2 \lor x=-2$

Bei Anwendung der obigen Definition ist es nicht der Fall, dass beides der Fall ist$x^2=4$ist wahr und$x=2 \lor x=-2$ist falsch.

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Ein "impliziert"-Satz ist ein materieller Bedingungssatz, der logisch wahr ist.

Man kann verwenden$X \implies Y$auszudrücken, dass es nicht nur (sachlich) nicht der Fall ist, dass X wahr und Y falsch ist, sondern dass es auch (logisch) nicht der Fall sein kann.

Zum Beispiel "$x$lebt in Florida " materiell impliziert "$x$lebt in den USA" für alle$x$(tatsächlich ist es bei Nr$x$Das$x$lebt währenddessen in Florida$x$lebt nicht in den USA). Aber Ersteres impliziert nicht logischerweise Zweites, denn es könnte der Fall sein, dass man in Florida lebt, während man nicht in den USA lebt (falls Florida nicht der Union beigetreten wäre, was eine logisch mögliche Situation ist).

Man kann also nicht schreiben:$Florida(x) \implies USA(x)$, können Sie die Folge nicht allein durch Logik aus dem Vordersatz ableiten

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• Erstens gibt es eine materielle Bedingungsformel, die kein Satz ist

$x^2 = 4 \rightarrow (x=2 \lor x= -2)$.

• Zweitens verwandelst du es mit einem Quantifizierer in einen Satz

$\forall(x) [x^2 = 4 \rightarrow (x=2 \lor x= -2)]$.

Dieser Satz kann wahr oder falsch sein.

Zu diesem Zeitpunkt haben Sie noch eine materielle Bedingung.

• Drittens gelingt es Ihnen, die Konsequenz unter dem als Hypothese angenommenen Vordersatz zu beweisen. Das bedeutet, dass der Konsequens logisch aus dem Vordersatz folgt.

Sie können dies ausdrücken als:

$x^2 = 4 \implies ( x=2 \lor x= -2)$$\space$($\space$für alle$x$)

was bedeutet, dass es keinen möglichen Fall gibt, in dem$x^2 = 4$ist wahr und$( x=2 \lor x= -2)$ist falsch.

• Beim Lösen von Gleichungen möchten wir, dass der nächste Schritt logisch aus dem vorherigen folgt, daher wird der Pfeil als materielle Bedingung verstanden, die in allen möglichen Fällen gilt, also als „impliziert“ oder „$\implies$, oder „logische Implikation“.

Ich denke, das eigentliche Problem hier ist psychologischer Natur. Im Grundstudium Mathematik lernen Sie "logisches Denken" auf zwei Arten. Eines ist im Wesentlichen einfach gesunder Menschenverstand, das Schreiben von Aussagen auf Englisch und das Analysieren ihrer Bedeutung. Die andere ist formales Denken mit Wahrheitstabellen und Implikationen.

Sie mischen sich selten gut auf einer elementaren Ebene.

In diesem Beispiel würde ich über die alltägliche (aber präzise) Bedeutung der Aussagen nachdenken.

Wenn (für eine Zahl$x$) Du weißt, dass$x^2 = 4$dann folgt das$x$muss beides sein$2$oder$-2$.

In diesem speziellen Fall funktioniert die Argumentation auch andersherum.

Für jeden von$x=2$Und$x=-2$Du weisst$x^2$= 4.

Sie können diese Aussagen mit schreiben$\implies$Und$\iff$aber ich würde empfehlen, mit Quantoren und formaler Logik nicht weiter zu gehen.

Notiz. Das Quadratwurzelsymbol sorgt in diesem Zusammenhang oft für Verwirrung.$\sqrt{4} = 2$, nicht$\pm 2$. Dieses Symbol bezieht sich immer auf die nichtnegative Lösung.