Was ist der Unterschied zwischen materieller Implikation und logischer Implikation?

Wenn ich die Definitionen von materiellen und logischen Implikationen lese, scheinen sie mir ziemlich gleichwertig zu sein. Kann mir jemand ein Beispiel geben, das den Unterschied verdeutlicht?

(Übrigens habe ich kein Problem mit der Äquivalenz zwischen ¬ P ∨ Q Und P → Q , auch bekannt als „wenn P Dann Q ". Meine Verwirrung liegt in der Vorstellung, dass es zwei verschiedene Formen der Implikation gibt, materiell und logisch.)

Danke!

Sie sind tatsächlich identisch. Der Begriff "materielle Implikation" soll die Implikation im logischen Sinne von der informellen Vorstellung der Implikation unterscheiden, die ein gewisses Gefühl der Verbindung trägt.
weiterführender Link: quora.com/…
Eine Sache, über die ich mir nicht 100% klar bin, ist der Unterschied zwischen logischer Implikation und Modus Ponens. Es scheint eine Schlüsselidee zu sein, materielle und logische Implikation zu unterscheiden.
Im Kontext der Logik erster Ordnung logische Implikation (synonym mit Folgerung ⊨ ) ist ein metalogischer Begriff, der sich auf einen materiellen Konditional bezieht ( → ) das ist eine Gültigkeit, dh das ist unabhängig von der Interpretation wahr. Verwandte: regelmäßige Implikation ( ⇒ ) versus materiell bedingt ( → ) . @CharlieParker Modus Ponens (ein metalogisches Konzept) ist die (gültige) Argumentform ( A  Und  A ⇒ B ) ⇒ B .

Antworten (1)

Es gibt eine Ebene, auf der sie unterschieden werden können. Die folgenden Definitionen sind relativ gebräuchlich.

  • Materielle Implikation ist ein binäres Bindewort, das verwendet werden kann, um neue Sätze zu erstellen; So ϕ → ψ ist ein zusammengesetzter Satz, der das materielle Implikationssymbol verwendet → . Alternativ ist in einigen Zusammenhängen die materielle Implikation die Wahrheitsfunktion dieses Bindeworts.

  • Die logische Implikation ist eine Beziehung zwischen zwei Sätzen ϕ Und ψ , die besagt, dass jedes Modell, das macht ϕ wahr macht auch ψ WAHR. Dies kann geschrieben werden als ϕ ⊨ ψ , oder manchmal verwirrend, als ϕ ⇒ ψ , obwohl einige Leute verwenden ⇒ für materielle Auswirkungen.

In dieser Unterscheidung ist die materielle Implikation ein Symbol auf der Objektebene, während die logische Implikation eine Beziehung auf der Metaebene ist. Mit anderen Worten, die materielle Implikation ist eine Funktion des Wahrheitswerts von zwei Sätzen in einem festen Modell, aber die logische Implikation bezieht sich nicht direkt auf die Wahrheitswerte von Sätzen in einem bestimmten Modell, sondern auf die Beziehung zwischen den Wahrheitswerten der Sätze wenn alle Modelle betrachtet werden.

Es gibt eine enge Beziehung zwischen den beiden Begriffen in der Logik erster Ordnung. Aus den Definitionen geht etwas unmittelbar hervor, dass if ϕ → ψ hält dann in jedem Modell ϕ ⊨ ψ , und umgekehrt, wenn ϕ ⊨ ψ Dann ϕ → ψ ist bei jedem Modell so. Diese Beziehung wird verschwommener, wenn wir anfangen, andere Logiken zu betrachten, und insbesondere kann sie ziemlich verschwommen sein, wenn Philosophen über materielle Bedingungen und logische Implikationen sprechen, die unabhängig von irgendeinem formalen System sind.

@AsafKaragila: Mir ist nicht klar, wie die Aussage nach "insbesondere" aus dem Satz folgt. Was ist T in diesem speziellen Fall?
@Asaf: Das verkompliziert die Sache, denn dann muss man über Beweisbarkeit sprechen. Auch erfüllt nicht jedes logische System den Deduktionssatz. (Außerdem haben Sie die Umkehrung des eigentlichen Abzugssatzes angegeben, der besagt, dass wenn a ⊢ β Dann ⊢ a → β ; Das Gegenteil, das Sie angegeben haben, ist im Wesentlichen modus ponens.) Ich habe darüber nachgedacht und mich dagegen entschieden.
@ Carl: Ich verstehe. Danke trotzdem für die Korrektur.
Gibt es nicht eine andere Form der logischen "Implikation", da ϕ⊨ψ bedeutet, dass wir ψ als semantische Folge von ϕ haben, also impliziert ϕ ψ im semantischen Sinne, während ϕ|-ψ bedeutet, dass wir ψ als syntaktische Folge von haben ϕ, also impliziert ϕ ψ im syntaktischen Sinne? Wenn nein, warum ist "ϕ|-ψ" nicht auch eine Implikation?
Was ist "eine Implikation" im Allgemeinen? Zumindest per Konvention verwenden wir normalerweise nicht den Begriff "Implikation" für die ⊢ Beziehung.
Ich füge hier hinzu, dass das Lehrbuch Formal Logic von AN Prior Teile davon enthält, die wie folgt lauten: „Rule: Detachment ( a , D a D β γ → γ ) und (In allen Fällen ist die einzige Regel neben der Substitution die E-Trennung: a , E a β → β . Und meiner Meinung nach kommt Priors Symbolik hier deutlicher zum Ausdruck als wenn er {E a β , a } ⊢ β , seit der " → "-Symbol deutet darauf hin, dass man von der linken auf die rechte Seite übergeht.
@Carl Mummert Sie sagten, "materielle Implikation ist eine Funktion des Wahrheitswerts von zwei Sätzen", ist nicht "materielle Implikation eine Funktion, die einen Satz aus zwei Sätzen zurückgibt"? Oder richtiger: „ → ist eine Funktion, die einen Satz aus zwei Sätzen zurückgibt"?
Es ist beides. Wir können einen neuen Satz bilden, indem wir zwei bestehende Sätze mit verbinden → . Der Wahrheitswert des neuen Satzes ergibt sich dann aus einer bestimmten Funktion der Wahrheitswerte der bestehenden Sätze. Die materielle Implikation ist also sowohl das Symbol, das die Sätze verbindet, als auch die Funktion, die zur Interpretation des Symbols verwendet wird. Tatsächlich ist die spezifische Wahl des Symbols nicht so wichtig wie die verwendete Funktion - die Funktion ist das, was uns dazu bringt, das Symbol "materielle Implikation" zu nennen. @Erich
@ Carl Mummert. In der konventionellen mathematischen Praxis ist zum Beispiel bekannt, dass Taniyama-Shimura den letzten Satz von Fermat "impliziert", oder X ist real "impliziert" X 2 ≥ 0 . Bezieht sich „impliziert“ in diesen Kontexten auf logische Implikationen?
@Maxis Jaisi: Diese Formulierung bedeutet normalerweise, dass die Annahme einer Aussage zu einem einfachen Beweis der zweiten Aussage führt, wobei einige einfachere Axiome angenommen werden. Aufgrund dieser zusätzlichen Axiome ist die Implikation zwischen den Aussagen nicht ganz logisch. Aber wenn die notwendigen Axiome als Teil der Hypothese enthalten sind, dann wird diese zusammengesetzte Aussage logischerweise die Schlussfolgerung implizieren.
@Carl Mummert: Danke. Eine letzte Frage, um den Punkt nach Hause zu bringen. Lassen P sei die Vermutung von Taniyama-Shimura, und Q Fermats letzter Satz. Wenn Mathematiker sagen, sie hätten "bewiesen" P ⟹ Q , es bedeutet, dass wir die streichen können P = WAHR Und Q = FALSCH Zeile in der Wahrheitstabelle für P ⟹ Q , Rechts? (vorausgesetzt, die notwendigen Axiome sind Teil der Hypothese)
mit anderen Worten, wenn Mathematiker beweisen P ⟹ Q , die implizite Bedeutung ist, dass ihnen das gezeigt wird P → Q ist eine Tautologie.
Was meinten Sie mit "aber bei der logischen Implikation geht es nicht direkt um die Wahrheitswerte von Sätzen in einem bestimmten Modell, sondern um die Beziehung zwischen den Wahrheitswerten der Sätze, wenn alle Modelle berücksichtigt werden."? Ist der einzige Unterschied, dass die logische Implikation in Bezug auf JEDES Modell und jede Interpretation gilt, während sie nur für ein Modell/eine Interpretation relevant ist?
Können Sie einige Beispiele für die beiden Implikationen geben?
Was ist der Unterschied zwischen materieller Implikation und logischer Implikation?
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