Beweis{¬(∀x)α→α¬(∀x)α→α\neg(\forall x)\alpha \rightarrow \alpha}⊨⊨\models(∀x)α(∀x)α(\forall x )\Alpha

Siehe Elliott Mendelson, Einführung in die mathematische Logik (4. Auflage – 1997), Seite 69.

Wir brauchen mindestens ein drittes Aussagenaxiom , etwa:

(A3) ---$(\lnot γ → \lnot β) → ((\lnot γ → β) → γ)$

alle Tautologien beweisen zu können .

Außerdem nehme ich zwei Axiome für den Prädikatenkalkül an (und zwei weitere Axiome für die Gleichheit : wir brauchen sie hier nicht) :

(A4) ---$\forall x \alpha(x) \rightarrow \alpha (t)$, Wo$t$ist ein freier Begriff für$x$In$\alpha(x)$

(A5) ---$(∀x(\alpha → \beta) → (\alpha → ∀x \beta))$, Wo$x$ist nicht frei$\alpha$.

Wir brauchen auch Inferenzregeln :

• Modus ponens

• Verallgemeinerung : Form$\alpha$,$\forall x \alpha$folgt.

Nachweisen

(1) $\lnot \forall x \alpha \rightarrow \alpha$--- vermutet

(2) $\lnot \alpha \rightarrow \forall x \alpha$--- Form (1) unter Verwendung der Tautologie :$(\lnot \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\lnot \psi \rightarrow \varphi)$und modus ponens

(3) $\forall x \alpha \rightarrow \alpha$--- per Axion (A4), mit$x$als$t$

(4) $\lnot \alpha \rightarrow \lnot \forall x \alpha$--- von (3) wie oben

(5) $\alpha$--- von Axiom (A3) mit (4) und (2), von mp zweimal

(6) $\forall x \alpha$--- aus (5) durch Verallgemeinerung

Somit bilden (1) und (6) :

$\lnot \forall x \alpha \rightarrow \alpha \vdash \forall x \alpha$.

Notiz

Um aus der obigen Formel stichhaltig zu schließen , dass:

$\lnot \forall x \alpha \rightarrow \alpha \vDash \forall x \alpha$

Wir müssen überprüfen, ob die feinen Details bezüglich der Definitionen von Zufriedenheit und logischer Konsequenz mit denen in Mendelsons Buch übereinstimmen.

Kommentar

Zum Beweis der Tautologie :$(\lnot \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\lnot \psi \rightarrow \varphi)$Wir brauchen etwas zusätzliche Arbeit.

Siehe diesen Beitrag für die "Grundwerkzeuge" nach Mendelsons Beweissystem:

$\vdash \varphi \rightarrow \varphi$, Deduktionssatz , Syllogismus und Gesetze der doppelten Negation .

Mit diesen verfügbaren Sätzen ist es einfach, die obige Tautologie zu beweisen.